Lo siento si es una pregunta tonta, pero la mayoría de los libros afirman $\log n < n$ para $n \geq 1$ sin aportar ninguna prueba, diciendo que es demasiado obvio. ¿Podría alguien darme una prueba rigurosa? ¿Hay algún truco o método que haya olvidado?
Si dejamos que $f(n) = \log n$ y $g(n) = n$ entonces $f'(n) = \frac{1}{n}$ y $g'(n)=1$ . Desde $f(1) < g(1)$ y $f'(n) \leq g'(n)$ para $n \geq 1$ Debemos tener $f(n) < g(n)$ para todos $n \geq 1$ .
La idea de la última frase se denomina a veces principio del hipódromo : Si $f(n)$ y $g(n)$ denotan las posiciones de los caballos $f$ y $g$ en el momento $n$ , caballo $f$ comienza detrás del caballo $g$ (es decir $f(1) < g(1)$ ), y en cualquier momento el caballo $f$ nunca es más rápido que el caballo $g$ (es decir $f'(n) \leq g'(n)$ ) entonces el caballo $f$ siempre estará detrás del caballo $g$ (es decir $f(n) < g(n)$ para $n \geq 1$ ).
El OP pide una prueba del principio de la pista de carreras.
El principio del hipódromo : Si $f(a) < g(a)$ y $f'(n) \leq g'(n)$ para $n \geq a$ entonces $f(n) < g(n)$ para $n \geq a$ .
Prueba : Dejemos que $h(n) = f(n) - g(n)$ . Entonces $h'(n) = f'(n) - g'(n) \leq 0$ . El teorema del valor medio nos dice que existe algún punto $x \in [a,n]$ tal que $$h'(x) = \frac{h(n) - h(a)}{n-a}.$$ Como sabemos que la afirmación es cierta para $n=a$ , toma $n > a$ . Ya sabemos $h'(x) \leq 0$ , por lo que obtenemos $h(n) - h(a) \leq 0$ , lo que significa que $f(n) - g(n) \leq f(a) - g(a) < 0$ y así $f(n) < g(n)$ para $n \geq 1$ .
¿Cómo puedo demostrar este teorema general? ¿Es posible hacerlo utilizando la definición del Big-O?
@Mark: No, la notación Big O no se refiere a esto. La O grande describe un comportamiento límite (por ejemplo, cuando dos funciones van al infinito), y no dice nada sobre lo que hacen en otros lugares.
Tienes razón, pero me pregunto cómo se puede demostrar esto sin usar el cálculo. ¿Existen herramientas más primitivas?
Voy a suponer que por $\log n$ nos referimos al logaritmo natural de $n$ .
Si $b > 1$ entonces $\log b$ es el área bajo la curva $y=1/x$ , por encima de la $x$ -eje, de $x=1$ a $x=b$ .
Esta área es claramente menor que el área del rectángulo con base $b-1$ y la altura $1$ Así que $\log b <b-1$ .
Comentario : No es raro que en los cursos de cálculo definir $\log b$ como en el caso anterior, y luego introducir la función exponencial. Si queremos que el argumento sea riguroso, probablemente introduciríamos la integral definida antes de introducir la derivada, y definiríamos $\log b$ como $\int_1^b \frac{1}{t} dt$ . La desigualdad que necesitamos es una consecuencia fácil de la definición de integral de Riemann.
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De hecho, $\log x \leq x-1$ para cualquier $x \geq 0$ . Esto equivale a la desigualdad $1+t \leq e^t$ para todos $t \in \mathbb R$ .
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Una pista: $e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 ... > 1 + x$ cuando $x>0$ .
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Ver esta pregunta para demostrar que para todo $t\gt 0$ , $\log t\leq t-1$ , lo que implica la pregunta que usted tiene. Así que esto parece un duplicado.