Convergencia de una secuencia de funciones periódicas.

Question

Motivados por la homogeneización de la teoría que estudia los efectos de las oscilaciones de alta frecuencia en los coeficientes a las soluciones de la PDE, estoy pensando en la siguiente pregunta.

Deje que la función periódica $$\alpha(x+1)=\alpha(x),\quad\alpha(x)>0,\quad x\in{\bf R}$$ y la secuencia de $$\alpha_n=\alpha(nx)\quad n\in{\bf N}$$ Consider the Hilbert space $$H^1_0([0,1]):=\{u:[0,1]\to{\bf R}\,|\,u,u'\in L^2([0,1]), u(0)=u(1)=0\}.$$

Aquí está mi pregunta:

¿Qué tipo de convergencia se puede se espera que para la secuencia $(\alpha_n(x))_{n=1}^{\infty}$, y ¿cuál es el límite correspondiente?

Edit: de Acuerdo a Qiaochu comentario, supongo que DOS diferentes interior de los productos aquí: $$\langle u,v\rangle_1=\int_{0}^1uvdx$$ y $$\langle u,v\rangle_2=\int_{0}^1uvdx+\int_{0}^1u'v'dx$$

Por lo que la topología se puede esperar que la convergencia de la secuencia anterior?

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Edit: Si se define $$\hat{\alpha} = \frac{1}{\int_0^1\frac{1}{\alpha(x)}dx}$$ can one expect some relationship between $(\alpha_n)$ and $\hat{\alpha}$?

Answer 1

Si$\alpha\in L_2([0,1])$ entonces la secuencia$\alpha_n(x)$ converge débilmente a$\int_0^1 \alpha(x)\,dx\ $.

Answer 2

¿Por qué usted espera que sus funciones a converger? Reescalado de la física coordenadas está dada por la inversa de escala en el espacio de frecuencia: $\alpha_n$ tiene el mismo $L^2$ as $\alpha$, pero el $\dot{H}^1$ norma crece unboundedly. Así que usted no tiene la convergencia, en algún sentido, relativa a la $H^1_0$, y se obtiene la debilidad de la convergencia en $L^2$ (desde cualquier secuencia delimitada en un espacio de Hilbert tiene una débil convergencia de larga por Banach-Alaoglu).

Además, a menos $\alpha$ es constante, la debilidad de la convergencia en $L^2$ no se puede actualizar a una fuerte convergencia, ya que para cualquier fija $n$, usted tiene $$\lim_{m\to\infty} \|\alpha_m-\alpha_n\|_{L^2} = 2\|\alpha - \bar{\alpha}\|_{L^2}$$ where $\bar\alpha$ is the mean of $\alpha$, por Andrés de observación.

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Como una observación, mientras que lo que usted escribió para la definición de $H^1_0$ es intuitivamente aceptable, no es técnicamente correcto, como la definición. (Tenga en cuenta que $L^2$ "funciones" son equivalentes a las clases, y eso realmente no tiene sentido exigir que un $L^2$ función se desvanece en un conjunto de medida cero.) $H^1_0$ es mejor definida como la realización de $C^\infty_0$ bajo $H^1$ norma.

Answer 3

Primero vamos a averiguar lo que el límite sería. Esencialmente hay dos tipos de convergencia que podríamos atención acerca de: la convergencia en $H_0^1\left( [0,1]\right)$ y la convergencia en $C\left( [0,1]\right)$. He ordenado desde el más fuerte al más débil. (Como el intervalo no está cambiando, a partir de ahora, voy a escribir la primera letra de estos espacios).

Si la secuencia converge en $H_0^1$, entonces es una secuencia delimitada en $H_0^1$. Por lo tanto, por el Sobolev Incrustación Teorema (véase, por ejemplo, Brezis, Análisis Funcional, Espacios de Sobolev, y Ecuaciones Diferenciales Parciales), pg. 212-213), hay una subsequecne $\alpha _{m_n}$ que converge en $C$. Usted puede utilizar este argumento para demostrar que cada subsequence de $\alpha _n$ tiene a su vez una larga que converge en $C$, de modo que la secuencia original converge en $C$. Por lo tanto, la convergencia en $H_0^1$ es más fuerte que la convergencia en $C$, de modo que bien podría referirse sólo a nosotros mismos con la convergencia en $C$.

Ahora, supongamos $\alpha _n$ converge en $C$. Para cada racional $x\in [0,1]$, $n$ finalmente será lo suficientemente grande como $nx\in \mathbb{Z}$, por lo que el $\alpha _n(x)=\alpha (nx)=\alpha (0)=0$. Por lo tanto, la función de limitación debe ser $0$ sobre los racionales, y por lo tanto por la continuidad, debe ser idéntica $0$. Por lo tanto, si $\alpha _n$ es la convergencia en cualquiera de las $H_0^1$ o $C$, debe convergen a la función que es idéntica $0$.

Esto implica claramente que esta secuencia no convergen una gran cantidad de $\alpha$. Por ejemplo, $\alpha (x)=\sin (\pi x)$. Esto ciertamente no converge a $0$, y como esta es la única posibilidad, no debe converger a todos.

Espero que no me tornillo de cualquiera de eso. Por favor indique los errores que he cometido. En cualquier caso, correcta o no, espero que lo que he dicho ha sido útil.

-Jonny Gleason