¿Cómo encontrar el coeficiente de$x^2y^3z^6$ en la expresión$(x^2+y+z)^{10}$?

Question

¿Cómo se puede encontrar el coeficiente de$x^2y^3z^6$ en la expresión$(x^2+y+z)^{10}$?

Sé que esto involucra el teorema del binomio, pero no puedo averiguar cómo resolverlo.

Answer 1

Podemos aplicar el teorema del binomio dos veces en el fin de encontrar la coeffcient. Es conveniente utilizar el coeficiente de operador $[x^k]$ para denotar el coeficiente de $x^k$ de una expresión.

Obtenemos $$\begin{align*} [x^2y^3z^6](x^2+y+z)^{10}&=[x^2y^3z^6]\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}x^{2k}(y+z)^{10-k}\tag{1}\\ &=[y^3z^6]\binom{10}{1}(y+z)^9\tag{2}\\ &=10[y^3z^6]\sum_{k=0}^9\binom{9}{k}y^kz^{9-k}\tag{3}\\ &=10\binom{9}{3}\tag{4}\\ &=840 \end{align*}$$

Comentario:

• En (1) aplicamos el teorema del binomio, una vez a $(x^2+(y+z))^{10}$.

• En (2) se selecciona el coeficiente de $x^2$ que se da cuando el índice de $k=1$.

• En (3) se aplica el teorema del binomio de nuevo.

• En (4) seleccionamos el coeficiente de $y^3z^6$ correspondiente al índice de $k=3$.

Answer 2

Insinuación:

La fórmula para encontrar el coeficiente de$x_1^{r_1}x_2^{r^2}\dots x_k^{r_k}$ en$(x_1+x_2+\dots+x_k)^n$ es:

PS

Aquí tomas$$\frac{n!}{r_1!r_2!\dots r_k!}$, entonces el problema se reduce a encontrar un elemento de$x^2 =p$en la expresión$py^3z^6$.

Respuesta:$(p+y+z)^{10}$ $

Answer 3

Creo que de esta manera puede ser intuitivamente útil. Cuántas $10$-tuplas se puede hacer de $x^{2}, y, y, y, z, z, z, z, z, z$? El número de cada "personaje" corresponde a cada uno de los exponente dado; el uso de la noción de tupla es debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación de la ley. Ahora el tratamiento de las mismas letras como si fueran diferentes (algo parecido a $y_{1},y_{2},y_{3},...$, que considera mentalmente.); entonces tienen $10!$ tuplas sin duda. Pero esta es la forma en demasiados! Tenemos que adaptar a partir de la observación de que este número es en realidad $3! \times 6!$ (debido a los duplicados de $y$ e $z$, respectivamente). veces el número requerido! Por lo que el número requerido es $$\frac{10!}{3!6!}.$$