Cómo mostrar que no existen órbitas periódicas.

Question

Estoy tratando de mostrar que no órbitas periódicas existen para el sistema:

$$x_1'=y+x^2+xy^3$$ $$y'=-2x-y^3$$

He intentado usar el criterio de Dulac para encontrar una función de $g(x,y)$ tal que $\Phi(x,y)$ da por :

$$\Phi(x,y)=\frac{\partial(gx')}{\partial x}+\frac{\partial(gy')}{\partial y}$$

Siempre es $>0$ o $<0$ . Pero he tenido suerte adivinando tal $g(x,y)$ y dejando $g(x,y)$ resultados generales en un complicado primer orden de la PDE. El trazado de la del sistema en el espacio de fase parece dar a entender que no hay órbitas periódicas y que el origen es un foco (aunque muy poco a poco convergiendo uno) . Hay otro punto crítico en $(x,y)=(-2^{1/5} , 2^{2/5})$ .

Alguna idea de cómo puedo demostrar que ningún periódico de las órbitas de existir?

Answer 1

Creo que lo he descubierto. Al parecer,$\Phi(x,y)$ solo necesita ser no zer0 en casi todas partes . Donde casi en todas partes significa excepto en un conjunto de medida cero. En$\mathbb R^2$ esto es una línea recta o un punto.

Por lo tanto, al usar la función dulac,$g(x,y)=e^y$, se obtiene:

PS

$$\Phi(x,y)=-3y^2e^y<0, \forall (x,y):y\not=0$no es cero en casi todas partes, por lo tanto, no existen órbitas periódicas en$\Phi(x,y)$.