¿Los conjuntos de niveles de una función subarmónica tienen medida cero?

Question

Supongamos que$u$ es subarmónico, con valor real y continuo en el disco abierto$D\subset\mathbb{C}$ y no es constante en ningún conjunto abierto en$D$. Al agregar una constante a$u$ si es necesario, quiero saber si el conjunto $$ \ {z \ en D: u (z) = 0 \} $$ tiene una medida cero?

Answer 1

No. Deje $K\subset\mathbb{C}$ ser un conjunto compacto con medida positiva, vacío interior, y conectado complemento (por ejemplo, una simple curva de positivo zona o un "grueso" de Cantor-tipo de juego). Deje $\mu$ ser el equilibrio medida de $K$, es decir, la medida que maximiza la energía $$I(\mu) = \iint \log|z-w|\,d\mu(z)\,d\mu(w)$$ entre toda probabilidad, las medidas apoyadas en $K$. Tal medida existe: ver, por ejemplo, en la sección 3.3 de la Teoría Potencial en el Plano Complejo por Ransford o estas notas de la conferencia por Saff. Además, a partir de las mismas fuentes), el potencial de $\mu$, definido por $$P_\mu(z) = \int \log|z-w|\,d\mu(w)$$ es

1. subarmónicos en $\mathbb{C}$
2. armónica en $\mathbb{C}\setminus K$
3. igual a $I(\mu)$ a.e. en $K$

Propiedad 2 implica $P_\mu$ no es constante en cualquier conjunto abierto, ya que un conjunto de superposición $\mathbb{C}\setminus K$, y una armónica función puede no ser constante en un subconjunto de la conexión de un conjunto abierto a menos que sea de forma idéntica constante (recordemos que la armónica de funciones real-analítica).