La función de la densidad como derivada (autoestudio)

Question

Estoy tratando de hacer la Sociedad de Actuarios,' problemas de ejemplo. Estoy teniendo problemas con ninguna. 62, que dice:

Una variable aleatoria $X$ ha CDF $$ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{for %#%#%} \\ \frac{x^2 - 2x + 2}{2} & \text{for %#%#%} \\ 1 & \text{for %#%#%} \end{casos} $$ Calcular la varianza de $x < 1$.

Entiendo los pasos básicos para el cálculo de la varianza:

• Transformar el CDF en una densidad de $1 \leq x < 2$, mediante la diferenciación.
• Calcular la expectativa $x \geq 2$ mediante la integración de $X$
• Calcular la expectativa $f$ mediante la integración de $E(X)$
• Calcular la varianza $x f(x)$.

El problema que estoy teniendo es que la densidad, calculo que no coincide con el de la página de soluciones. En particular, me sale

$E(X^2)$1 \leq x < 2$}\\ 0 & \text{en caso contrario} \end{casos} $$

mientras que obtener

$$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & \text{for %#%#%} \\ x - 1 & \text{for %#%#%}\\ 0 & \text{otherwise} \end{casos} $$

Dónde está ese $x^2 f(x)$ proviene?

Edit: he corregido el CDF, y ahora la derivada (si no la densidad) es correcta.

Answer 1

Tenga en cuenta que como $x$ enfoques $1$ desde la izquierda, el cdf se queda en $0$. Ahora calcular el cdf en $x=1$. Sustituyendo $x=1$ en la fórmula, tenemos $F(1)=\frac{1}{2}$. Por lo que no "peso" hasta, pero no incluyendo $1$, y luego un repentino de peso de $\frac{1}{2}$ a $1$.

Nuestra distribución en general no es ni discretas ni continua. tiene algunas características de cada uno. Que tipo de distribución es a menudo llamado un mixto de distribución.

Antes de realizar el resto de los cálculos detallados, necesitamos que preocuparse acerca de la expresión $\frac{x^2+2x-2}{2}$. Tenga en cuenta que para $x$ cerca de $2$, pero a la izquierda de $2$, esto le da un número mucho más grande de $1$. Que es absolutamente imposible para un cdf.

Añadido: Ahora el cdf para $1\le x\lt 2$ ha sido fijado a $\frac{x^2-2x-2}{2}$, de hecho es una de cdf.

Para calcular la varianza, es probable que primero se desea calcular la media. La diferenciación, nos encontramos con que la función de densidad de $1\lt x\lt 2$ es $x-1$.

Así que tenemos un punto de masa de $\frac{1}{2}$ a $x=1$, y un alambre de densidad variable que se extiende desde $1$ a $2$. Para la media, tenemos que tratar a los dos contribuciones a la media por separado, y agregar. Tenemos $$E(X)=(1)\left(\frac{1}{2}\right) +\int_{x=1}^2 x(x-1)\,dx.$$ Esto creo que se simplifica a $\frac{4}{3}$.

Para completar el cálculo de la varianza, necesitamos $E(X^2)$. Este es $$(1^2)\left(\frac{1}{2}\right) +\int_{x=1}^2 x^2(x-1)\,dx.$$