Denotemos la función de Dirichlet como$d(x)$:$$d(x)=\begin{cases}{1,x \in \mathbb{Q}\\ 0,x\not\in \mathbb{Q}}\end{cases}$ $ Sé que la integral de Lebesgue de la función de Dirichlet en cualquier dominio finito es cero:$$\int_a^b d(x) dx=0$ $ Por otra parte, la integral de la función de Dirac es 1 en cualquier conjunto que incluya$0$ ($a<0<b$):$$\int_a^b\delta(x)dx=1$ $ Entonces, me pregunto, ¿qué evaluaría esta integral para:$$\int_a^b\delta(d(x))dx$ $? ¿Tiene sentido$\delta(d(x))$?
Respuesta
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La "función" $\delta$ es en realidad la medida $$ \delta(A) = 1 \Leftrightarrow 0 \in A$$ que no es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue. Así, la expresión $$ \delta(d(x))$$ no tiene ningún sentido, ya que se supone que la "función" $\delta$ es la densidad de la medida $\delta$ con respecto a la medida de Lebesgue.
Si interpretamos $\delta(x)$ como la "función", que es infinito en 0 un 0 en caso contrario (mientras que la integración 1), a continuación, $\delta(d(x))$ es una "función", que es infinito en cualquier $ x$ racional y 0 en caso contrario, mientras que la integración ... creo que la interpretación ha alcanzado su límite.
Si hay algún objeto matemático que podría representar a $\delta(d(x))$ es una contables suma de Dirac masas (la generalización de la $\delta(x)$, que es infinita en un punto arbitrario $y$, en términos de la "función" delta que es $\delta_y(x) = \delta(x - y)$) en cada racional que es $$ ``\delta(d(x)) \text{''} = \sum_{y \in \mathbb{Q}} \delta_y $$ y así $$ ``\int_a^b \delta(d(x)) dx \text{''} = \sum_{y \in \mathbb{Q}} \delta_y([a,b]) = \sum_{y \in [a,b] \cap \mathbb{Q}} 1 = \infty$$
Para $\hat{d}(x) = 1 - d(x)$ es incluso peor, ya tendríamos un no-contables de suma no cero términos que no está aún bien definida en general.
