Una ecuación diferencial especial

Question

Quiero saber cómo podemos resolver una ecuación diferencial de la forma general $$y'(x)= y(u(x))+g(x). $$ Por ejemplo $y'(x)= y(\sin(x))+ x,$ o $y'(x)= y(\sin(x)).$ ¿Cómo demostramos la existencia o unicidad de la solución?

Answer 1

Primero considera la ecuación diferencial principal para $g(x)=ay'(x)$ donde $a\in\mathbb{R}-\{1\}$ (si $a=1$ entonces tenemos la solución trivial $y(x)\equiv0$). Así $$y'(x)=y(u(x))+g(x)\Rightarrow (1-a)y'(x)=y(u(x))\Rightarrow (1-a)\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=y(u)$$$$\Rightarrow(1-a)\frac{y'(u)}{y(u)}\cdot\frac{du}{dx}=1$$ A lo largo de las líneas anteriores hemos usado la regla de la cadena. La integración directa nos dará $$(1-a)\int\frac{y'(u)}{y(u)}\,du=\int\,dx\Rightarrow(1-a)\ln|(y(u)|=x+c\Rightarrow y(u)=c\exp(\frac{x}{1-a})$$ Suponiendo que $u$ es invertible entonces establecemos $u(x)=z\Rightarrow u^{-1}(z)=x$. Intercambiando $x$ con $z obtenemos $$y(x)=c\exp(\frac{u^{-1}(x)}{1-a})$$ Ahora, en general para cualquier $g(x)$. Reescribe la ecuación principal como $$y'(x)-y(u(x))=g(x)\Rightarrow -y'(u)u'(x)+y(u)=-g(x)$$ Multiplica ambos lados por una función $h(x)\neq0$ tal que $h'(x)=-u'(x)h(x)$ Esto daría como resultado $$\frac{h'(x)}{h(x)}=-u'(x)$$ La integración directa nos daría $$h(x)=c\exp(u(x))$$ Ahora la ecuación original al multiplicarse por $h(x)$ se convierte en $$h(x)y(u)-h(x)u'(x)y'(x)=-h(x)g(x)\Leftrightarrow (h(x)y(u))'=-h(x)g(x)$$ La integración directa nos daría $$\int (h(x)y(u))'=-\int h(x)g(x)\,dx\Leftrightarrow h(x)y(u)=-\int h(x)g(x)\,dx+c$$ es decir $$y(u)=\frac{1}{h(x)}\Big(-\int h(x)g(x)\,dx+c\Big)$$ Suponiendo la invertibilidad de $u$ podemos sustituir $x$ con $u^{-1}(x)$ para obtener $$y(x)=\frac{1}{h(u^{-1}(x))}\Big(-\int h(u^{-1}(x))g(u^{-1}(x))\frac{dx}{u'(x)}+c\Big)$$ donde $h(x)=c\exp(u(x))$.