¿Cómo resolver la combinatoria con tamaños de conjuntos variables?

Question

La pregunta: ¿Cuántas formas de poner $15$ estudiantes en grupos, de manera que cada grupo tenga $3$ ~ $5$ ¿alumnos?

Si el grupo fuera $3$ grupos iguales de $5$ entonces la respuesta sería $\cfrac{15!}{5! \cdot 5! \cdot 5! \cdot 3!}$ y si fuera $5$ grupos iguales de $3$ entonces la respuesta sería $\cfrac{15}{3! \cdot 3! \cdot 3! \cdot 3! \cdot 3! \cdot 5!}$ . ¿Cómo se manejan los grupos de distinto tamaño?

Gracias.

Answer 1

Ya que no está claro si los grupos están etiquetados o no,
Los trataré como etiquetados, e indicaré la corrección necesaria si no están etiquetados.

Los grupos pueden ser $\;$ 5-5-5, $\;$ 5-4-3-3, $\;$ 4-4-4-3, $\;$ o $\;$ 3-3-3-3-3 , por lo que el número de formas de etiquetado grupos es:

$$\frac{15!}{5!\cdot 5! \cdot5!}+\frac{15!}{5!\cdot 4!\cdot 3! \cdot 3! }+\frac{15!}{4! \cdot 4! \cdot 4! \cdot 3!}+\frac{15!}{3!\cdot 3!\cdot 3! \cdot 3! \cdot 3!}$$

Si los grupos son sin etiquetar dividir, respectivamente, por $3!,\;2!,\;3!\;$ y $5!$

Answer 2

No habrá más de 5 grupos. Podemos considerar tres casos: que haya 3, 4 o 5 grupos respectivamente. Consideremos el caso en el que el número de grupos es igual a 4. Entonces hay 2 casos adicionales: que haya un grupo de tamaño 5 y uno de 4 o tres de cuatro (el tamaño del resto es 3).
Para resumir hay: $$\frac{15!}{5!\cdot 5! \cdot5! \cdot 3!}+\frac{15!}{3!\cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdot 2!}+\frac{15!}{3!\cdot 4!\cdot 4! \cdot 4! \cdot 3!}+\frac{15!}{3!\cdot 3!\cdot 3! \cdot 3! \cdot 3! \cdot 5!}$$ formas de resolver este problema.