Continuidad definida para números racionales e irracionales.

Question

Deje $h(x) = x$ para todos los números racionales $x$ e $h(x) = 0$ para los números irracionales. Estoy tratando de mostrar que $h$ es continua en $x=0$ y en ningún otro punto.

Definición de continuidad en el $x_0$: $(\forall x)(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)$ tal que $|x-x_0| < \delta \implies |h(x) - h(x_0)| < \varepsilon$.

Para esta parte de la pregunta que me llevó a $\delta = \epsilon$. A continuación, $|x - 0| < \delta \implies |h(x)| < \varepsilon$ porque si $x$ es racional, entonces $x < \varepsilon$ e si $x$ es irracional, a continuación,$|x| < \varepsilon$.

Definición de la discontinuidad en $x_0$: $(\exists x)(\exists \varepsilon > 0)(\forall \delta > 0)$ tal que $|x-x_0| < \delta \implies |h(x) - h(x_0)| \geq \varepsilon$.

He intentado dividir el problema en dos casos:

1) Si $x_0$ es racional, entonces $|h(x) - h(x_0)| = |h(x) - x_0|$. A continuación, recoger $x$ a ser un número irracional. Entonces he $|h(x) - x_0| = |x_0|$. Y tome $\varepsilon = \frac{|x_0|}{2}$.

2) Ahora si $x_0$ es irracional $|h(x) - h(x_0)| = |h(x)|$. Ahora aquí es donde yo no estaba seguro de mí mismo: Si yo escojo $x$ a ser un número racional, entonces $|h(x)| = |x|$. Yo no estaba seguro acerca de la elección de $\varepsilon$, de modo que $|x| \geq \varepsilon$. Sería válido para echar $\varepsilon = \frac{|x|}{2}$? (Me refiero a $|x|$ aquí y no $|x_0|$)

Podrían darme alguna información? Gracias!

Editar Para rematar la última parte, vamos a $\varepsilon = \frac{|x_0|}{2}$. Ahora quiero elegir un $x$ en los números racionales. Yo también necesita satisfacer $x_0 - \delta < x$ (desde $|x_0 - x| < \delta$) y $|x| \geq \frac{|x_0|}{2}$. Así que ahora puedo elegir a $x \in (|x_0|-\delta, |x_0|) \cap (\frac{|x_0|}{2}, |x_0|)$.

Answer 1

No, no puede tomar$\varepsilon = \frac{|x|}{2}$, ya que no es constante.

Pero aún puede tomar$\varepsilon = \frac{x_0}{2}$, porque para cualquier$\delta>0$ encontrará$x$ tal que$|x - x_0|< \delta$, pero$h(x) > \varepsilon$ (para%% positivo$x_0$ #% es cualquier número racional entre$x$ y ya sea$x_0$ o$x_0 - \delta$, el que sea más grande; de manera similar para$x_0 - \epsilon$ negativo.

Answer 2

Así que terminó de mostrar que$f(x)$ es continuo en$x=0$, y$f(x)$ es discontinuo en los números racionales. Para la última parte, para demostrar que$f(x)$ no es continuo en$x_0(x_0\neq 0)$ racional, proporciono una sugerencia de la siguiente manera.

Para cualquier$x_0\neq 0$, existe$\delta>0$ tal que si$|x-x_0|<\delta, |x|>\frac{|x_0|}{2}$, y por lo tanto, aún puede tomar$\epsilon=\frac{|x_0|}{2}$ y terminar la prueba por sí mismo.