Comprobación de la prueba. Principio bien ordenado para los números naturales.

Question

Sé que hay una gran cantidad de pruebas que hay para el bien-principio de orden ya. Como un ejercicio, pensé que iba a tratar de demostrar de una manera diferente. Mi intento es como sigue. Agradecería cualquier comentario!

Probar: Todos los no-vacío subconjunto de los números naturales, S, tiene un mínimo, mín(S), tal que min(S) es menor o igual que todos los s en S.

Vamos a Sn denotar un subconjunto (de los números naturales) de cardinalidad n.

(Caso Base) n = 1: S contiene exactamente un elemento de x. Claramente, x es menor o igual que todos los s en S.

(Paso inductivo) Suponga que inductivamente que min(Sn) está bien definido. Se puede demostrar que min(Sn+1) también está bien definido. En particular, Sn+1 puede ser escrito como Sn U S1. min(S1) y min(Sn) están bien definidos. Hay tres posibles relaciones entre los valores min(S1) y min(Sn): <, =, >. Si min(S1) < min(Sn), entonces min(S1) es menor o igual a cada elemento de S1 y Sn y es, por tanto, menos de o igual a cada elemento de Sn+1. [Realizar el mismo análisis en cada uno de los otros dos casos]

QED

Answer 1

Muchas veces, el problema de la gente tiene con la inducción es que ellos no tienen claramente la proposición de que están usando un argumento inductivo para probar.

Su intento de que el problema parece estar tratando de demostrar que la proposición

$P_n \equiv$ Cada subconjunto de $n$ elementos tiene un mínimo

Y para arreglar su paso inductivo, que empieza diciendo algo así como

Supongamos $P_n$ es cierto. Deje $S$ ser un conjunto de $n+1$ elementos. Escribir $S = U \cup V$ donde $U$ ha $n$ elementos y $V$ ha $1$ elemento

A continuación, utilice $U$ e $V$ todas partes que usted escriba $S_n$ e $S_1$.

Una vez que hayas hecho eso... usted puede tener una correcta prueba de $P_{n+1}$. Pero es conciso y faltan muchos detalles. Por un lado, es el tipo de cosa que me gustaría aceptar de mis compañeros porque creo que es claro cómo llenar los detalles (y me imagino que también es claro a mis colegas). Pero, por otro lado, no estoy seguro de que lo aceptaría de un estudiante que está aprendiendo acerca de las pruebas y el que tenga problemas con los detalles, porque tengo la fuerte sospecha de que los detalles se omiten porque ellos no entienden cómo llenarlos, y en el mejor de los casos sólo comprender la idea intuitiva.

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Pero digamos que usted tiene una correcta prueba, para que a través de la inducción, $P_n$ es válido para cada $n$. Esto no demostrar el teorema que estaba tratando de probar, sin embargo — se puede concluir que cada finito tiene un mínimo, pero todavía deja abierta si es o no un infinito conjunto tiene un mínimo.

En última instancia, usted tiene que mezclar en una nueva idea para completar la prueba.