Grado de ramificación divisor y número de puntos fijos en una acción de grupo.

Question

Sea$C$ una curva compleja no singular proyectiva y un grupo finito$G$ actúa sobre$C$. Considerar el cociente

$f: C\rightarrow C/G=:C'$.

Luego, por Riemann – Hurwitz.

$2g_C-2=|G|(2g_{C'}-2)+\deg R,$

donde$R$ es el divisor de ramificación.

Supongo que el número$\deg R$ está conectado de alguna manera al número de puntos fijos de la acción$G$, pero no puedo precisarlo. Estoy en lo cierto?

Answer 1

El divisor de ramificación$R$ es compatible con esos puntos$x\in C$, por lo que$f^{-1}(f(x))$ consiste estrictamente en menos de$|G|$ puntos. Pero$f^{-1}(f(x))\subset C$ es la órbita de$x$ (ya que$C\to C/G$ es un cociente geométrico). Como tal, tiene cardinalidad$|G|/|G_x|$. Por lo tanto,$$|f^{-1}(f(x))|<|G|\iff G_x\neq 1\iff \textrm{the action is not free at }x.$$ So the degree of $ R$ should count these $ x \ en C$ where the action is not free (including fixed points). Of course, a fixed point $ x \ en C$ has stabilizer $ G_x = G$, which means that $ f$ is totally ramified at $ x $.