He leído algunos libros de análisis. Todos ellos definen el espacio métrico, el espacio topológico o el espacio vectorial directamente, sin ninguna razón.
Por lo tanto, quiero saber el trasfondo de la definición - el problema que el espacio pretende resolver - ¿hay alguna referencia?
Muchas gracias.
Originalmente Las matemáticas pretendían describir el mundo real. A continuación, seguimos desarrollándola utilizando la intuición de cómo se comporta el mundo real para describir cómo se comportarían los objetos matemáticos.
En los siglos XIX y XX las matemáticas sufrieron varias crisis fundacionales. Resultó que la intuición no es una base suficiente para las matemáticas. En cambio, necesitamos describir ciertas propiedades de manera formal y utilizar reglas lógicas de inferencia para deducir propiedades de los objetos matemáticos.
Cuando se hace esto, se puede ver fácilmente que ciertas propiedades son suficientes para discutir ciertos sucesos. Por ejemplo, si $T$ es una transformación lineal de $\mathbb R^2$ entonces es sobreyectiva si y sólo si es inyectiva. Sin embargo, el hecho de que estemos sobre $\mathbb R$ no importaba, y esto es ciertamente cierto para $\mathbb R^3$ también. Resulta que si $V$ es un espacio vectorial finitamente generado sobre cualquier campo $\mathbb F$ entonces esto es cierto.
Si es así, la noción de espacio nos dice que es un universo matemático que tiene cierta estructura. Estas propiedades son las concretas que necesitamos para generalizar el fenómeno concreto que describe el mundo real a un contexto matemático general. Esta abstracción es muy útil porque nos permite aplicar las mismas herramientas en problemas aparentemente diferentes, simplemente mostrando que dos objetos diferentes pueden verse como construcciones de un tipo similar.
Ahora volvemos a la cuestión particular, espacios vectoriales; espacios topológicos; espacios métricos; etc. A menudo se trata de generalizaciones de cosas que surgen naturalmente durante la era de las matemáticas basadas en la intuición. Por ejemplo, $\mathbb R$ es un espacio métrico. Tiene una métrica muy natural, el valor absoluto que nos dice lo cerca que está son dos números. Esta noción puede utilizarse para definir cosas como la continuidad de una función o la convergencia. Resulta que la medición de la distancia puede hacerse de otra manera, y la función de distancia sólo necesita satisfacer varias propiedades básicas, a un espacio en el que podemos medir distancias entre puntos que llamamos un espacio métrico .
Del mismo modo, pero con menos claridad, la topología es también una generalización de los números reales y los espacios métricos. Observamos que podemos utilizar intervalos abiertos en los números reales, observamos que una secuencia converge a un punto $x$ si en cada intervalo abierto alrededor de $x$ todos los puntos de las secuencias aparecen, excepto un número finito de ellos. Por tanto, los intervalos abiertos son una buena forma de medir la convergencia. Espacios topológicos son una generalización de esta noción, definimos conjuntos que llamamos abiertos, y una secuencia converge a un punto si en cada conjunto abierto que contiene este punto se puede encontrar casi toda la secuencia.
Los espacios vectoriales surgen de forma natural al resolver un sistema de ecuaciones lineales en varias variables. Resulta que no sólo podemos generalizar el número de variables y ecuaciones, pero también que funciones lineales puede utilizarse para aproximar funciones menos lineales (por ejemplo, funciones diferenciables), y que los espacios vectoriales pueden utilizarse para describir muchos más objetos en matemáticas. Por ejemplo, " todas las funciones continuas de valor real de los números reales "tiene una estructura muy natural de un espacio vectorial sobre $\mathbb R$ . En este espacio vectorial la integración puede ser vista como un funcional lineal y la toma de antiderivados es una operador lineal . Ambos son muy naturales para el cálculo.
Todas estas nociones, y muchas más, son generalizado aún más en matemáticas. Lo que hacen muchos matemáticos es el estudio de las propiedades, preguntando " ¿qué propiedad garantizaría que una determinada consecuencia es verdadera? ", y " ¿qué propiedad es necesaria para que se dé esta consecuencia? ". Esa es, a mis ojos, la mayor belleza de las matemáticas. La capacidad de aislar y generalizar propiedades del caso particular a un caso extremadamente abstracto.
Tiene usted razón al preguntar por el contexto de estas definiciones. Un lugar donde buscar en este caso es
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Topology_in_mathematics.html
Hay tres razones para la abstracción:
Para cubrir muchos ejemplos conocidos.
Simplificar las pruebas dando las razones clave por las que algo es cierto.
Estar disponible para nuevos ejemplos.
Así, el poder de la abstracción es también permitir las analogías.
También hay que mencionar la asombrosa extensión de la noción de espacio métrico realizada por F.W. Lawvere en
Lawvere, F. William Espacios métricos, lógica generalizada y categorías cerradas Con un comentario del autor: Categorías enriquecidas en la lógica de la geometría y el análisis. Repr. Theory Appl. Categ. No. 1 (2002), 1-37.
Otro comentario de Lawvere fue que la noción de "espacio" se desarrolló para tratar el "movimiento" y el "cambio de datos". Este tema se desarrolla en mi conferencia Fuera de línea .
Más tarde: También deberías darte cuenta de que una de las fuerzas motrices de la abstracción es la pereza. Así, supongamos que trabajamos en el espacio $\mathbb R^3$ con la distancia euclidiana habitual, y tener dos puntos, digamos $P=(x,y,z), Q=(u,v,w)$ . Después de un tiempo podemos hartarnos de escribir la fórmula de la distancia de $P$ a $Q$ y deciden abreviarlo a $d(P,Q)$ . Entonces empiezas a preguntarte qué propiedades de $d(P,Q)$ y puede ser una sorpresa descubrir lo poco que se necesita para las pruebas, y lo mucho más fácil que es utilizar estas propiedades para escribir las pruebas y entenderlas. Así, estas propiedades de $d$ convertirse en el estructura subyacente para esta situación. Descubres que realmente entiendes por qué algo es cierto. Luego se descubre que estas propiedades se aplican a más ejemplos, y se está muy lejos de una teoría "abstracta".
Una vez más, la presión podría consistir en aplicar en otra situación los argumentos que has utilizado en una, pero la noción de distancia no se aplica inmediatamente. De ahí la noción de "vecindad".
Después de muchos años se descubrió que en muchas situaciones la noción de "conjunto abierto" es más fácil de trabajar y tiene un conjunto de reglas lógicamente más simple. Así que se considera que ésta es LA definición de un espacio topológico, y a los pobres estudiantes a menudo se les presenta esta definición sin historia, sin motivación, sin antecedentes, ¡pero con la orden de aprenderla! (¡Tampoco se admiten protestas! Todos sabemos que el escritor de: "Dale pimienta a tu hijo pequeño/y pégale cuando estornude./Sólo lo hace para molestar,/y puede dejar de hacerlo cuando le plazca" era un matemático).
Una de las razones de la abstracción es también que las analogías no son entre cosas, sino entre las relaciones entre las cosas. Así, los nudos son muy diferentes a los números, pero las reglas de adición de nudos son análogas a las reglas de multiplicación de los números. Así que se puede definir un "nudo primo" y preguntar: ¿hay infinitos nudos primos? Así es como avanzan las matemáticas, a menudo por falta de una idea sencilla. Como escribió Grothendieck: "Las matemáticas se retrasaron durante miles de años por falta del concepto de cifra [cero], y nadie estaba por la labor de dar un paso tan infantil".
Grothendieck también ha argumentado en la sección 5 de su famoso "Esquisses d'un programme" (1984) contra el concepto de espacio topológico, por ser inadecuado para expresar la geometría, o al menos la geometría que él tenía en mente. Así pues, no hay nada sacrosanto en estos conceptos, y hay que tener en cuenta su aplicabilidad y sus inconvenientes.
En un debate universitario (¡hace años!) un polemista más experimentado me echó en cara que citara: "El texto sin contexto no es más que un pretexto". Creo que la importancia de esta frase se aplica también a las matemáticas, y está relacionada con mis observaciones iniciales.
Quién soy yo para decirlo, pero me parece que cuando la gente dice que las matemáticas se mantuvieron porque nadie inventó el cero es extremadamente condescendiente y carece de la capacidad de apreciar la monumentalidad de tal idea. Es el salto de la existencia a la no existencia. Es como sugerir que la electricidad es un juego de niños; o la fisión nuclear; incluso caminando o hablar es altamente no trivial. Para descontextualizar una de mis citas favoritas: " ...dos más dos son cuatro. Si eso se concede, todo lo demás viene por añadidura. "
Creo que la fuerza de la palabra "infantil" es también "sin prejuicios". Se ha dicho que una fuerza contra el cero era que el vacío se asociaba con el caos, la obra del diablo. El contexto de mi cita se refería a los groupoides; como persona infantil, me gustó la idea, así como sus ramificaciones de mayor dimensión, pero ambas han sido calificadas de "tonterías" o "ridículas" por personalidades de alto nivel en el Reino Unido; ningún libro de topología algebraica en inglés, excepto el mío, ha utilizado la noción del groupoide fundamental sobre un conjunto de puntos base, que introduje en 1967, ¡y a AG le gustó!
No creo que se encuentre que haya habido problemas específicos en mente en el desarrollo de estos conceptos más abstractos. En cuanto a los espacios topológicos, alrededor de la época en que se desarrolló una base rigurosa para el cálculo, los matemáticos tuvieron que llegar a comprender qué era exactamente un número real y qué propiedades tenía la línea real. También descubrieron que podían aplicar ciertas ideas y métodos de los espacios euclidianos conocidos a "espacios" que eran bastante diferentes. A medida que estas ideas y métodos se iban utilizando, era natural intentar encontrar el núcleo central de estos argumentos y desarrollar una teoría general sobre este tipo de "espacios".
Lo siguiente está tomado directamente del texto de Engelking ( Topología general ):
La aparición de la topología general es una consecuencia de la reconstrucción de los fundamentos del cálculo realizada durante el siglo XIX. Los esfuerzos por independizar el análisis de la intuición geométrica ingenua y de los argumentos mecánicos, a los que se refirieron los inventores del cálculo I. Newton (1642-1727) y G. Leibniz (1646-1716), condujeron a la definición precisa del límite (J. d'Alembert (1717-1783) y A. L. Cauchy (1784-1857)), a la formulación de pruebas de convergencia de series infinitas (C. F. Gauss (1777-1855)) y a la clarificación de la noción de función continua (B. Bolzano (1781-1848) y Cauchy). La necesidad de asentar el cálculo sobre una base más firme se reconoció de forma generalizada cuando se descubrieron diversos fenómenos patológicos en la convergencia de las series trigonométricas (N. H. Abel (1802-1829), P. G. Lejuene-Dirichlet (1805-1859), P. du Bois-Reymond (1831-1889)) y se describió el primer ejemplo de funciones continuas no diferenciables en ninguna parte (Bolzano, B. Riemann (1826-1866) y K. Weierstrass (1815-1897) en 1830, 1854 y 1861, respectivamente). Estos últimos ejemplos desestabilizaron las perspectivas comunes y condujeron a una revisión de la noción de número y al surgimiento de teorías rigurosas de los números reales. Las más importantes fueron: la teoría propuesta independientemente por Ch. Méray (1835-1911) y por G. Cantor (1845-1918), en la que los números reales se definían como clases de equivalencia de las secuencias de Cauchy de los racionales, y la teoría debida a R. Dedekind (1831-1916), en la que los números reales se definían como cortes en el conjunto de los racionales. Ambas teorías proporcionaron una descripción de la estructura topológica de la línea real.
La topología general debe sus inicios a una serie de trabajos de Cantor publicados entre 1879 y 1884. Discutiendo los problemas de unicidad de las series trigonométricas, Cantor se centró en el estudio de los conjuntos de "puntos excepcionales", en los que se podían eliminar algunas hipótesis de un teorema sin dañar el propio teorema. Más tarde se dedicó a la investigación de conjuntos, originando así tanto la teoría de conjuntos como la topología. Cantor definió y estudió, en el ámbito de los subconjuntos de los espacios euclidianos, algunas de las nociones fundamentales de la topología. Otras nociones importantes, también restringidas a los espacios euclidianos, fueron introducidas en 1893-1905 por C. Jordan (1838-1922), H. Poincaré (1854-1912), E. Borel (1871-1956), R. Baire (1874-1932) y H. Lebesgue (1875-1941).
El paso decisivo fue el paso de los espacios euclidianos a los espacios abstractos. Aquí, Riemann fue el precursor; en 1854 introdujo y estudió la noción de colector bidimensional y señaló la posibilidad de estudiar colectores de mayor dimensión, así como espacios de funciones. Alrededor de 1900, cuando ya se habían introducido las nociones topológicas fundamentales, aparecieron algunos trabajos que mostraban la existencia de estructuras topológicas naturales en algunos conjuntos especiales, como: el conjunto de curvas (G. Ascoli (1843-1896)), el conjunto de funciones (C. Arzelá (1847-1912), V. Volterra (1860-1940), D. Hilbert (1862-1943) e I. Fredholm (1866-1927)) y el conjunto de líneas y planos en el espacio tridimensional (Borel). De este modo se preparó el terreno para un tratamiento axiomático de la noción de límite y, más generalmente, de la noción de proximidad de un punto a un conjunto.
Bueno, para el espacio métrico, es bastante obvio que la métrica es sólo una abstracción del concepto común de distancia. Así que en el mundo real, hay lugares. Siempre que haya dos lugares (digamos, Nueva York y el lugar en el que te encuentras actualmente), puedes decir la distancia (por ejemplo, "estoy a doce millas de Nueva York"). Esa distancia nunca es negativa (si alguien dice "estoy a menos veinte millas de Nueva York", inmediatamente sabes que está diciendo un disparate, aunque no tengas ni idea de dónde está). Además, si esa distancia es 0, obviamente debes estar en Nueva York, y si estás en Nueva York, tu distancia a ella debe ser 0. También, si estás a 12 millas de Nueva York, Nueva York está a 12 millas de ti. También existe la observación de que si se observan las distancias de usted y de Nueva York a un tercer lugar (digamos, a Washington), las distancias suman algo al menos tan grande como su distancia a Nueva York. Esencialmente, eso codifica el hecho de que el camino directo a Nueva York es el más corto; sería una medida de distancia extraña en la que podrías ahorrar dando un rodeo.
Ahora bien, lo que acabo de describir arriba son exactamente los axiomas de un espacio métrico. Los lugares se llaman "puntos", y como hay muchos, hay un conjunto de ellos. La distancia se llama "métrica" y se requiere que tenga exactamente las propiedades dadas anteriormente: Se define para cada par de puntos (para cada dos lugares, hay una distancia), $d(x,y)\ge 0$ (la distancia no puede ser negativa), $d(x,y)=0$ exactamente si $x=y$ (si su distancia a Nueva York es 0, está en Nueva York, y viceversa), $d(x,y)=d(y,x)$ (estás tan lejos de Nueva York como Nueva York lo está de ti) y $d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)$ (la distancia entre tú y Nueva York no puede ser mayor que la distancia entre tú y Washington más la distancia entre Washington y Nueva York).
Bien, ahora pasamos al espacio topológico. Ahora no pienses en lugares concretos, sino en áreas completas (por ejemplo, países de la Tierra). Una pregunta obvia que puedes hacerte es si estás dentro del país o en la frontera. Por supuesto, puedes decidirlo simplemente midiendo la distancia a la frontera (que es el mínimo de las distancias a todos los puntos de la frontera) y ver si es mayor que 0. Sin embargo, parece extraño que tengas que medir distancias para hacerlo. Al fin y al cabo, deberías ser capaz de saber si estás en la frontera sin necesidad de hacerlo. Si estás en la frontera, ninguno de los países te rodea. Así que es necesario tener un concepto de "conjunto que te rodea" que, en última instancia, no se basa en la distancia. Este concepto viene dado por los conjuntos abiertos y las vecindades. Un conjunto abierto es un conjunto que rodea todo sus puntos (lo que significa que no contiene su propio borde). Por lo tanto, siempre que estés en ese conjunto, estarás rodeado por él, y definitivamente no estarás en su frontera. Por supuesto, si estás en ese conjunto, también estás rodeado por todos los conjuntos que lo contienen. Estos conjuntos se denominan vecindades. Ahora bien, si estás en la frontera de algún conjunto, hay por supuesto no tal vecindad que está completamente en ese conjunto. Así que todo lo que necesitas para distinguir el interior de la frontera es el concepto de conjuntos abiertos (=conjuntos que rodean todos sus puntos).
De nuevo, estos "conjuntos que rodean todos sus puntos" tienen algunas propiedades generales, que conforman la definición de espacios topológicos. Por ejemplo, la superficie de la tierra (es decir, el conjunto de todos los puntos) rodea todos sus puntos. También el conjunto vacío rodea todos sus puntos (al no tener puntos, los rodea a todos). Además, si dos conjuntos rodean todos sus puntos, la intersección también lo hace (porque si estás en la intersección, estás rodeado por ambos conjuntos, y por tanto por la intersección). Y si se hace una unión de conjuntos arbitrarios "circundantes" (es decir, abiertos), de nuevo se obtiene un conjunto "circundante", es decir, abierto. Así que el concepto de "conjunto abierto" y el espacio topológico son en realidad una abstracción del concepto del mundo real "estar rodeado por".
Son puntos excelentes. El problema para los estudiantes puede ser que los procesos de las matemáticas, la metodología, rara vez se presentan, o se discuten, por lo que la frase "sólo una abstracción" puede ser poco clara para ellos. Una pregunta interesante es: ¿cuánto se podría ganar haciendo que estos "meta-temas" formen parte del curso? ¿En qué medida ayudaría a los estudiantes y sería interesante por sí mismo? Véanse, por ejemplo, los artículos sobre el "contexto" en mi página pages.bangor.ac.uk/~mas010/publar.htm
@RonnieBrown: Sólo obtengo "The requested URL /~mas010/publar.htm was not found on this server." de tu enlace. ¿Quizás lo has escrito mal?
El problema que pretenden resolver los espacios: Son "ayudantes". Es decir, tienes una estructura matemática cualquiera y quieres estudiarla. Una vez que la encuentras: "Oh, mi estructura es metrizable (es decir, existe una métrica sobre ella)," puedes abrir cualquier libro de texto sobre espacios métricos y todo será válido para tu estructura.
Si encuentras una estructura cerrada bajo la multiplicación por números y la suma, tienes un espacio vectorial y, de nuevo, toda la teoría es válida para tu estructura.
De ahí la importancia de estudiar estructuras tan generales como los "espacios".
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¿Qué tiene de misterioso la definición de espacio métrico? Es evidente que axiomatiza una noción de "distancia". Creo que también está bastante claro que un espacio vectorial axiomatiza una noción de espacio en el que tienen sentido las traslaciones y los segmentos de línea dirigidos. Para los espacios topológicos, véase aquí o aquí .