Si todos los conjuntos son finitos, ¿cómo podrían los números verdaderos definirse?

Question

Una forma extrema de constructivismo se llama finitisim. En esta forma, a diferencia de la norma de sistema de axiomas, conjuntos infinitos no son permitidos. Hay importantes matemáticos, tales como Kronecker, que admiten este sistema. Puedo ver que los números naturales y los números racionales pueden fácilmente definido en un finitist sistema, por la facilidad de adaptación de las definiciones estándar. Pero para hacer significativo de matemáticas, necesitamos tener las definiciones de los números irracionales que es probable encontrar en la práctica, tales como el correo o sqrt(2). En el estándar de las construcciones de los números reales, se define como Dedekind cortes, o secuencias de Cauchy, que son en realidad conjuntos de cardinalidad infinita, de modo que no sean de aquí. Mi pregunta es, ¿cómo sería un número real como los que se definen en un finitist sistema de axiomas. (Por supuesto, no tenemos ninguna esperanza para la construcción de todo el conjunto de los números reales, ya que el conjunto es uncountably infinito.)

Después de hacer un poco de investigación me encontré con un constructivista de la definición en Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Constructivism_(matemáticas)#Example_from_real_analysis , pero necesitamos un finitist definición de una función para que esta definición de trabajo. (Porque en el sistema estándar, una función sobre el conjunto de los números naturales es en realidad un conjunto infinito.)

Así que mi pregunta se reduce a esto: ¿Cómo podemos definir una función f en los números naturales en un finitist sistema axiomático?

Versión Original de esta cuestión, que había sido cerrado durante la fase de beta privada, es como sigue:

Si todos los conjuntos finitos, ¿cómo las matemáticas?

Si reemplazamos el axioma de que " no hay existe un conjunto infinito' con 'todos los conjuntos son finitos", ¿cómo sería en matemáticas como? Mi conjetura es que, en la teoría de la que tiene importancia práctica sería todavía se presentan, pero todo sería muy muy ilegible para los seres humanos. Es eso cierto?

Tendríamos los números naturales, aunque la clase de todos los naturales de los números no sería un conjunto. En el mismo sentido, podríamos tener el racional números. Pero podríamos tener el real los números? Puede el estándar las construcciones se adaptan a este configuración?

Answer 1

La teoría de conjuntos con todos los conjuntos finitos ha sido estudiado, es un familiar de la teoría en disfraz, y es suficiente para la mayoría de los/todo el concreto análisis real.

Específicamente, Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos con el Axioma de Infinitud reemplazado por su negación (de manera informal, "no hay ningún conjunto infinito") es equivalente a la de primer orden de la Aritmética de Peano. Llamar a este sistema finito de ZF, la teoría de la hereditariamente finitos conjuntos. A continuación, en la Goedel codificación aritmética finita de conjuntos, la Aritmética de Peano puede demostrar todos los teoremas de Finito de ZF, y bajo cualquiera de las estándar de las construcciones de los números enteros a partir de finito de conjuntos Finitos de ZF se demuestra todos los teoremas de la Aritmética de Peano.

La implicación es que los teoremas no demostrable en PA implican intrínsecamente infinitary razonamiento. En particular, finito ZF fue utilizado como un equivalente de la PA en la París-Harrington de papel ", Un Matemático de la Incompletitud de la Aritmética de Peano", que demostró que su modificación de la finitos teorema de Ramsey no puede ser comprobado en PA.

Los números reales y secuencias infinitas no son directamente los objetos de la finitos ZF universo, pero no hay un sentido claro en el que real (y complejo, y funcional), el análisis puede ser realizado en lo finito ZF o PA. Uno puede hacer declaraciones sobre $\pi$ o de cualquier otro definido explícitamente número real, como teoremas acerca de una determinada secuencia de aproximaciones racionales ($\forall n P(n)$) y estos pueden ser formulado y probado que el uso de una teoría de conjuntos finitos. PA puede realizar muy complicado de inducción de pruebas, es decir, la inducción transfinita por debajo de $\epsilon_0$. En la práctica esto significa que cualquier concretas número real de cálculo ordinario de las matemáticas. Para el ejemplo del teorema de los números primos, mediante el análisis complejo y la de Riemann zeta función, consulte Gaisi Takeuti las Dos Aplicaciones de la Lógica a las Matemáticas. Más discusión sobre este en un MO hilo y mi publicar allí:

http://mathoverflow.net/questions/31846/is-the-riemann-hypothesis-equivalent-to-a-pi-1-sentence

http://mathoverflow.net/questions/31846/is-the-riemann-hypothesis-equivalent-to-a-pi-1-sentence/31942#31942

Prueba la teoría en general y a la inversa de las matemáticas en particular, contienen análisis de la lógica de la fuerza de varios teoremas de las matemáticas (si se realiza adecuadamente el hormigón como las declaraciones sobre las secuencias de enteros), y desde este punto de vista de la PA, y su avatar conjunto finito teoría, son muy potentes sistemas.

Answer 2

Descargo de responsabilidad: yo no soy un finitist --- pero como un científico de la computación teórica, tengo una cierta simpatía por finitism. El siguiente es el resultado de mí abiertamente especulando de lo "oficial" de finitist respuesta sería, basado en motivos de la computabilidad.

La versión corta es esta: (a) depende de lo que entendemos por un "número", pero no es un enfoque razonable que la hace razonable hablar de finitistic enfoques de los números reales; (b) Lo que usted puede hacer finitisitically con números reales, racionales, o por el contrario, depende de cómo se representan los números.

1. ¿Qué es un número? Es de -1 de un número? Es sqrt(2) un número? Es i = sqrt(-1) de un número? ¿Qué acerca de los cuaterniones? --- Voy a ignorar por completo a esta pregunta y sugieren un pragmático, enfoque formal: un "número" es un elemento de un "sistema de numeración"; y un "sistema de numeración" es una colección de expresiones que puede transformar o describir las propiedades de ciertas maneras (es decir, determinados operaciones aritméticas) y probar ciertas propiedades (por ejemplo, las pruebas para la igualdad, pedidos, etc.) Estas expresiones no tienen que tener una interpretación significativa en términos de cantidades o magnitudes tan lejos como estoy de que se trate; usted elige qué operaciones/pruebas que te importan.
   
   Un finitist exigiría a cualquier operación o propiedad de ser descrito por un algoritmo que seguramente termina. Es decir, no es suficiente para demostrar la existencia o la universalidad de la lógica clásica; la existencia de las pruebas debe ser finito construcciones --- de un "número", que es una representación en un "sistema de numeración" --- y univserality debe ser demostrado por una computable de la prueba.

2. Representación de los números: Cómo representamos los números de los asuntos. Un finitist debería haber ninguna duda acerca de los números racionales: proporciones que en última instancia se reducen a los pares ordenados. A pesar de esto, el decimal expansiones de estos números puede ser infinitamente larga: 1/3 = 0.33333... ¿qué está pasando aquí?
   
   Bien, el tema es que tenemos dos representaciones para el mismo número, uno de los cuales es finito en longitud (y nos permite realizar cálculos) y otro que no es finito en longitud. Sin embargo, la expansión decimal puede ser fácilmente expresada como una función: para todos los k, los k^th decimales después del punto es '3'; por lo que aún puede caracterizar de forma precisa en términos de un número finito de reglas.
   
   Lo importante es que existe algún finito manera de expresar el número. Pero la manera en la que podemos elegir para definir el número (como parte de un sistema o de números, utilizando alguna forma de expresar los números) afectará lo que puede hacer con él... ahora hay una pregunta acerca de las operaciones que podemos realizar.
   
   - - - - - Racionales como cocientes, podemos añadir/restar, multiplicar/dividir, y a pedido de prueba en materia de igualdad. Por lo que esta representación es muy buena para los racionales.
   
   - - - - - Racionales-como-decimal-expansiones, todavía podemos añadir/restar y multiplicar/dividir, mediante la definición de un nuevo dígitos-función que describe cómo calcular el resultado de las expansiones decimales; estos serán messier de las representaciones como de las proporciones. El fin de que las comparaciones son todavía posibles para distintos racionales; pero no se puede probar la igualdad de la arbitraria decimal de expansión de las representaciones, porque no necesariamente tienen que verificar que todos los decimales de la diferencia |un−b| 0. Lo mejor que puedes hacer, en general, es la prueba de la "igualdad hasta la precisión ε", en donde se demuestra que |un−b| < ε, para algunos precisión deseada ε. Este es un sistema de numeración que informalmente podemos decir que tiene cierta cantidad de "vaguedad"; pero es, en principio, completamente especificado --- no hay nada malo con esto en principio. Es sólo una cuestión de cómo desea definir su sistema de la aritmética.

3. Lo que la representación de reales? Obviamente, porque hay una cantidad no numerable de números reales, que no pueden representar todos los números reales, incluso si no son un finitist. Pero todavía podemos expresar algunos de ellos. Lo mismo es cierto si usted es un finitist: los que simplemente no tienen acceso a muchos, y/o está restringido en lo que puedes hacer con ellos, de acuerdo a lo que su representación puede manejar.
   
   --- Algebraica de los números irracionales como sqrt(2) se puede expresar simplemente como que: "sqrt(2)". No hay nada malo con las expresiones "sqrt(2) − 1" o "[1 + sqrt(5)]/2" --- ellos expresan cantidades perfectamente bien. Puede realizar operaciones aritméticas sobre ellos perfectamente bien; y también se pueden realizar pedidos o en la igualdad de las pruebas de transformándolos en una forma normal del tipo "[suma de enteros y raíces de números enteros]/[número entero positivo]"; si la diferencia de dos cantidades es igual a cero, la forma normal de la diferencia acaba de ser '0'. Para el fin de las comparaciones, podemos calcular suficiente decimales de cada término de la suma para determinar si el resultado es positivo o negativo, un proceso que está garantizado para terminar.
   
   --- Números como π y puede ser representado por un decimal expansiones, y calculadas en este formulario, al igual que con los números racionales. Las expansiones decimales puede ser obtenido desde la clásica igualdades (por ejemplo, "infinito" de la serie, a excepción de la informática sólo parciales de sumas de dinero; un número como el correo puede ser expresada por algunos finito en la representación de un 'exacta' de la fórmula, junto con una computable de la función que describe cuántos términos de la serie son necesarios para obtener una correcta evaluación de la primera k decimales.) Por supuesto, lo que usted puede hacer finitistically con estas representaciones se limita en la misma manera como se describió anteriormente con los racionales; en concreto, no siempre se puede probar la igualdad.

Answer 3

Hay un fragmento de matemáticas que está dado por un conjunto de axiomas conocidos como los axiomas de Peano. El uso de estas reglas puede llevar a cabo una gran cantidad de matemáticas relativas a los números naturales. Por ejemplo, usted puede probar un montón de teoremas de teoría de números el uso de estos axiomas. Los axiomas de Peano no hacen referencia a conjuntos a todos, ya sea finito o infinito. Las únicas cosas que existen en esta teoría son naturales. Usted no puede incluso forman el conjunto de todos los números enteros. Sólo se puede hablar de los naturales a sí mismos. Por lo que una gran cantidad de matemáticas que funcionaría muy bien.

Aunque los axiomas de Peano son sobre los naturales, ya se puede utilizar para hablar de conjuntos finitos. La idea es que cualquier conjunto finito podría ser codificado como una secuencia finita de símbolos que a su vez puede ser representado como naturales utilizando la numeración de Gödel. Así, preguntas como: "se establece un subconjunto de eso?" se podría convertir en puramente aritméticos de las declaraciones acerca de los números de Gödel.

Así que estoy bastante seguro de que la declaración de que no hay ningún conjunto infinito haría mucha diferencia a las personas que trabajan dentro del sistema definido por los axiomas de Peano. Nos gustaría que todos los números naturales para trabajar, simplemente no ser capaz de reunir en una sola entidad, el conjunto de todos los números naturales.

Por otro lado, hay teoremas que hacen indispensable el uso de un conjunto infinito. Como el teorema de Goodstein. Sin conjuntos infinitos (o un sustituto de algún tipo) sería imposible demostrar este resultado.

Por lo que el resultado global sería, creo, que todavía se podía hacer un montón de matemáticas bien. Las matemáticas que usted podría hacer por no ser todo lo que extraño. Y simplemente le priva a sí mismo de un útil la prueba técnica.

Por el camino, usted todavía será capaz de decir muchas cosas acerca de los números reales. Un número real puede ser considerado como una secuencia de Cauchy. Una secuencia de Cauchy es un cierto tipo de secuencia de los números racionales. Así que muchas declaraciones acerca de los números reales, cuando desempaquetado, son realmente declaraciones acerca racional, y por lo tanto los naturales, pero en el disfraz.

Actualización: Descubrir exactamente qué partes de las matemáticas que usted necesita con el fin de demostrar las cosas es un campo conocido como la inversa de las matemáticas. Hilbert, y otros matemáticos, estaban interesados en tratar de demostrar que tanto las matemáticas como sea posible usando finito métodos. A pesar de que fue en última instancia demostrado que no se puede llevar a cabo todas las matemáticas utilizando finito métodos, es sorprendente lo mucho que puede. Aquí's un documento que habla sobre un sistema llamado EA, que no tiene los conjuntos infinitos. Sorprendentemente, podemos utilizar los resultados de la teoría analítica de números en la EA. Esto es debido a que las proposiciones acerca de las funciones analíticas que pueden ser interpretadas como declaraciones acerca de los números naturales.

Answer 4

Finitism todavía permite el uso de infinitary definiciones de los números reales, porque una finitist es contenido con finito de pruebas , incluso si los conceptos mencionados por esas pruebas, parece requerir conjuntos infinitos. Por ejemplo, un finitist todavía sería reconocer que "ZFC demuestra que cada acotado no vacío conjunto de reales tiene al menos un límite superior" incluso si el finitist no acepta que existen conjuntos infinitos.

Pruebas en varios infinitary sistemas son de interés para finitists porque de resultados de la conservación. En este contexto, la conservación de un resultado muestra que si una frase acerca de los números naturales de una determinada forma es comprobable en algunos infinitary sistema, la frase es en realidad comprobable en un finitistic sistema. Por ejemplo, hay finitistic pruebas de que si $\Pi^0_2$ frase acerca de los números naturales es comprobable en el infinitary sistema $\text{WKL}_0$ de segundo orden de la aritmética, de la que la sentencia es también comprobable en el finitistic sistema $\text{PRA}$ de la primitiva recursiva de la aritmética.

Muchos consistencia de los resultados se ha comprobado finitistically. Por ejemplo, hay un finitistic la prueba de que si la teoría de conjuntos ZF sin el axioma de elección es consistente, entonces la teoría de conjuntos ZFC con el axioma de elección es también coherente. Este comprobante de estudios infinitary sistemas de la teoría de conjuntos, pero los objetos de la realidad que maneja son finitos formal de pruebas en lugar de conjuntos infinitos.