Demostrar que .

Question

Demostrar que $\int_{0}^{2} e^{x^2-x}\mathrm dx \in [2e^{\frac{-1}{4}}, 2e^2]$

Yo no puedo calcular esto. De Wolfram yo sé que: $$\int_{0}^{2} e^{x^2-x}\mathrm dx= \frac{\sqrt{\pi } \left(\frac{\text{erfi}}{2}+\frac{3 \text{erfi}}{2}\right)}{2 \sqrt[4]{e}}$$ por lo que no parece ser expressable con funciones elementales. Yo creo que tengo para estimar la integral.

Sin embargo no tengo idea de que los derivados pueden ser de gran ayuda para mí. Pensé acerca de: $$e^{-x}\le e^{x^2-x}\le e^{x^2}$$ So: $$\int e^{-x}\le \int e^{x^2-x}\le \int e^{x^2}$$ However, this is not helpful for me since the interval $[2e^{\frac{-1}{4}}, 2e^2]$ es más precisa.

Tienes alguna idea de cómo encontrar un adecuado funciones?

Answer 1

En $[0,\,2]$ , $x^2-x=\left(x-\frac12\right)^2-\frac14$ tiene un mínimo $\frac14$ en $x=\frac12$ , máximo $2$ en $x=2$ . Entonces tu integrando está enlazado entre $e^{-\frac14},\,e^2$ . Ahora solo multiplique por el ancho del rango de integración $2$ .