Sustitución EDO de primer orden

Question

Cuando tenemos un O. D. E que no es ni lineal ni separables, se utiliza la sustitución para averiguar lo $y(x)$ es.

La elección de la $v$ en la sustitución de la materia en el resultado? El libro de texto utiliza principalmente $v=\frac{y}{x}$, pero nunca $v=\frac{x}{y}$, lo cual me lleva a pensar que esto es algún tipo de convenio. Mi instintiva respuesta fue que cuando obtenemos $\frac{dy}{dx}$, no importa si $v = \frac{y}{x}$ o $\frac{x}{y}$, debido a que el original de O. D. E, sería reflejar los cambios en $v$ respectivamente.

Sin embargo, cuando me fue dada una simple ecuación diferencial a resolver:

$2xy\frac{dy}{dx} = 4x^2 + 3y^2$

Yo era capaz de calcular la respuesta correcta mucho más rápido y eficiente al $v=\frac{y}{x}$, pero tuvo problemas para hacerlo con $v=\frac{x}{y}$.

Lo siento si es una pregunta tonta.

Answer 1

no creo que tu pregunta es tonta. supongo que si usted ver por qué el cambio de variable $m = y/x$ o $1/m = x/y$ trabaja para el homogéneos de como $$\frac{dy}{dx} = \frac{4x^2 + 3y^2}{2xy},\tag 1$$, entonces puede ser que usted puede ver la razón de este cambio de variable.

la homogeinidad de la de implica que el lado derecho es constante en las líneas de $y = mx.$ que la pendiente en cada punto de esta línea es una constante y sólo depende de la pendiente y no en el individuo coordenadas $x$ e $y.$ ahora se puede dar un paso hacia adelante o hacia atrás usando las pistas en lugar de la habitual steping forwrad o hacia atrás utilizando la variable independiente $x.$

yo creo que esa es la razón para el uso y la eficacia del cambio de variable.