Dos automorfismos con las mismas órbitas.

Question

Sea$G$ un grupo finito y supongamos que$\phi$ y$\psi$ son dos automorfismos de$G$ de orden$p$, donde$p$ es un primo número. Si$\phi$ y$\psi$ satisfacen la siguiente condición, ¿el subgrupo generado por$\phi$ es igual al generado por$\psi$?

"para cada $g\in G$, $\{\phi(g),\cdots,\phi^p(g)\}=\{\psi(g),\cdots,\psi^p(g)\}$"

Gracias por tu ayuda

Answer 1

Para un contraejemplo, deje que$G=C_2^3$ sea un abeliano elemental del orden$8$. Luego, cualquier elemento de${\rm Aut}(G) \cong {\rm GL}(3,2)$ del pedido$7$ tiene una sola órbita en los elementos sin identidad de$G$.

Ahora${\rm GL}(3,2)$ tiene$8$ subgrupos de orden$7$, así que simplemente tome$\phi$ y$\psi$ de distintos subgrupos de orden$7$.