La suma de subespacios cerrados de un espacio de Banach es cerrada

Question

Actualmente estoy luchando con el siguiente ejercicio:

Sea $B$ sea un espacio de Banach y $C, D \subset B$ subespacios cerrados de $B$ .
Hay un $M \in ]0, \infty[$ tal que $\forall x \in D : \operatorname{dist}(x, C \cap D) \leq M \cdot \operatorname{dist}(x, C)$ retenciones.

Demuestra que $C + D$ está cerrado.

Answer 1

Consideremos los mapas cociente $p: B\rightarrow B/C$ y $q: D \rightarrow D/D\cap C$ . Afirmamos que $p(D)$ está cerrado en $B/C$ . En efecto, si $\{p(d_n)\}_n$ es Cauchy en $B/C$ entonces por su suposición sobre las distancias $\{q(d_n)\}_n$ es Cauchy en $D/D\cap C$ y como este espacio es completo $\{q(d_n)\}_n$ converge a $q(d)$ Entonces es fácil ver que $p(d_n)\rightarrow p(d)$ . Una vez comprobado que $p(D)$ es cerrado, se deduce que $p^{-1}(p(D))=D+C$ está cerrado.

Answer 2

Lo he probado de la siguiente manera:

$B$ es un espacio de Banach y $D, C \subseteq B$ están cerrados. Así $D$ y $C$ son a su vez espacios de Banach. $C \cap D$ es también un subespacio cerrado de B y por tanto $D / C \cap D$ es un espacio de Banach.

El segundo teorema de isomorfismo establece que $D / C \cap D \simeq (D + C)/D$ dada por el isomorfismo de espacios vectoriales $\varphi : D / C \cap D \to (D + C)/C, D + C \cap D \mapsto D + C$ .

Ahora demostramos que $\varphi$ y $\varphi^{-1}$ son continuas:

Sabemos que $C \cap D \subseteq D \implies \forall x \in D : ||[x]||_{(D+C)/C} = \operatorname{dist}(x, C) \leq \operatorname{dist}(x, C \cap D) = ||[x]||_{D/C \cap D}$ . Así $\varphi$ es continua.

Ahora demuestre que $\varphi^{-1} : (D+C)/C \to D / C \cap D, [D+C] \mapsto [D]$ es continua: La inecuación dada da como resultado: $\forall D \in D, C \in C : ||[D]||_{D / C \cap D} = \operatorname{dist}(D, C \cap D) \leq M \cdot \operatorname{dist}(D, C) = M \cdot ||[D]||_{(D+C)/C}$ lo que demuestra que $\varphi^{-1}$ es continua.

Utilizando $\varphi$ vemos que $(D+C)/C$ es un espacio de Banach, ya que $D / C \cap D$ es uno.

Sea $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ sea una sucesión de Cauchy. $(x_n)$ converge a $z \in B$ ya que $B$ está completo. Ahora mira la secuencia de Cauchy inducida $([x_n])_{n \in \mathbb N}$ . Converge en el espacio de Banach $(D + C)/C$ a $[z] \in (D + C)/C$ .

Así pues, tenemos $||[z] - [x_n]||_{(D+C)/C} = \operatorname{dist}(z - x_n, C) \overset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0$ . Desde $C$ es cerrado, también tenemos $\operatorname{dist}(z - x_n, C) \overset{n \to \infty}{\longrightarrow} \operatorname{dist}(z - x, C)$ .

De ello se deduce que $\operatorname{dist}(z - x, C) = 0 \overset{C~\text{closed}}{\implies} z -x \in C \implies z - x \in C \implies x \in z + C \subseteq D + C$ .

Así pues, tenemos $\overline{D+C} \subseteq D + C$ que muestra que $D + C$ está cerrado. qed.