Encuentre todos los enteros posibles$n$ de manera que$\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + \sqrt{n + 2}}$ sea un entero.

Question

Encuentre todos los enteros posibles $n$ de manera que $m = \sqrt{n + 2} + \sqrt{n + \sqrt{n + 2}}$ sea un entero.

¿Adivina qué? Este problema es una adaptación de una reciente competencia. Ha habido una solución a continuación para que pueda revisar. Soy consciente del hecho de que existen otras soluciones que son más prácticas y adecuadas para la configuración de pruebas.

Answer 1

Tenemos que $$m = \sqrt{n + 2} + \sqrt{n + \sqrt{n + 2}} \ (m \in \mathbb N)$$

$$\iff m - \sqrt{n + 2} = \sqrt{n + \sqrt{n + 2}} \iff (m - \sqrt{n + 2})^2 = n + \sqrt{n + 2}$$

$$\iff m^2 - (2m - \sqrt{n + 2})\sqrt{n + 2} = (\sqrt{n + 2} + 1)\sqrt{n + 2} - 2$$

$$\iff m^2 + 2 = (2m + 1)\sqrt{n + 2} \iff \sqrt{n + 2} = \frac{m^2 + 2}{2m + 1}$$

Como una adición, $\dfrac{m^2 + 2}{2m + 1} \in \mathbb Q^+, \forall m \in \mathbb N \implies \sqrt{n + 2} \in \mathbb Q^+$

$\implies \sqrt{n + 2} \in \mathbb N \implies \dfrac{m^2 + 2}{2m + 1} \in \mathbb N \iff \dfrac{4(m^2 + 2) - (2m + 1)(2m - 1)}{2m + 1} \in \mathbb N$

$\iff \dfrac{9}{2m + 1} \in \mathbb N \iff 2m + 1\mid 9 \iff 2m + 1 \in \{1, 3, 9\} \iff m \in \{0, 1, 4\}$

Podemos establecer una tabla de diferente valor de $m$ e $\sqrt{n + 2}$.

$$\begin{matrix} m&& 0&& 1&& 4\\ \sqrt{n + 2} = \dfrac{m^2 + 2}{2m + 1}&& 2&& 1&& 2 \end{matrix}$$

$\iff n \in \{-1, 2\}$.

Conectar $n \in \{-1, 2\}$ en $m = \sqrt{n + 2} + \sqrt{n + \sqrt{n + 2}}$, tenemos que $(m,n) = (1, -1)$ e $(m, n) = (4, 2)$ es la respuesta correcta.

Answer 2

Un enfoque más corto:

En general para los números de $m=\sqrt{n+a}+\sqrt{n+\sqrt{n+a}}$ debemos tener:

$n+a=b^2$

$b^2+b-a=c^2$

Si este sistema de ecuaciones, con un, ha entero soluciones para n, entonces m es un entero.Por ejemplo, $a=3$; $m=\sqrt{n+3}+\sqrt{n+\sqrt{n+3}}$ tenemos:

$n+3=b^2$

$b^2+b-3=c^2$

Se puede observar que con $c=3$ tenemos:

$b^2+b-3=3^2=9$; o $b^2+b-12=0$ que da $b=3$ e $b=-4$. Con $b=3$ obtenemos $n=6$ e $m=6$, con $b=-4$ obtenemos $n+3=16$ o $n=13$ que da $m=4+\sqrt{17}$ que no es entero.

En cuestión $a=2$ y podemos buscar y ver que el valor razonable de c sólo puede ser cero. Otros valores que se dan los números irracionales para uno de los términos de $\sqrt{n+2}$ o $\sqrt{n+\sqrt{n+2}}$. Por lo tanto tenemos:

$$b^2+b-2=0$$

Lo que da:

$b=1$; $a= 1$; $n=-1$; $m= 1$

$b=-2$;$a= 4$; $n=2$; $m=4$