Si y , probar eso .

Question

Si $a,b,c>0$ e $ab+bc+ca=3$, demuestran que, a $\displaystyle \sum_{cyc} \frac{a}{\sqrt{a^3+5}} \leq \sqrt{6}/2$.

Mi intento fue el de utilizar en primer lugar AM-GM en el denominador, como $a^3+5 \geq 3a+3$ y el conjunto de $a=x^2-1$ pero un montón de problemas ocurrido.

Entonces, traté de usar AM-HM, como $\sqrt{6 \cdot (a^3+5)} \geq ...$ pero esto tampoco funcionó.

Alguna ayuda?

Creo que es completamente obvio que si dos de los problemas tienen la misma condición y las desigualdades, NO son lo mismo.

Answer 1

Otra ayuda de AM-GM: $$\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a^3+5}}\leq\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{\frac{3a^2-1}{2}+5}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a^2+3}}=$ $ $$=\sqrt{\frac{2}{3}}\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}\sum_{cyc}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)=\frac{\sqrt6}{2}.$ $