Integral de la trayectoria del oscilador armónico: regularización del determinante funcional

Question

A partir del Apéndice A del Vol. 1 de Polchinski, podemos reducir la integral de la trayectoria euclidiana para el oscilador armónico 1D para calcular $(\det\frac{\Delta}{2\pi})^{-1/2}$ donde $$\Delta = -\partial_u^2 + \omega^2.$$

Desde $f_j(u) = \sqrt{2/U} \sin(j\pi u/U)$ es una base propia, calculamos

$$\det \frac{\Delta}{2\pi} = \prod_{j=1}^{\infty} \frac{j^2\pi^2 + \omega^2 U^2}{2\pi U^2}.$$

Aquí Polchinski regulariza utilizando Pauli-Villars; divide por la amplitud para un oscilador con frecuencia muy alta $\Omega$ y obtiene

$$\det \frac{\Delta}{2\pi} \to \prod_{j=1} \frac{j^2 \pi^2 + \omega^2 U^2}{j^2 \pi^2 + \Omega^2 U^2} = \frac{\Omega \sinh \omega U}{\omega \sinh \Omega U}.$$

Ahora toma el $\Omega \to \infty$ límite. ¿Por qué es ese el límite apropiado para tomar al final?

Obtiene $(\det \frac{\Delta}{2\pi})^{-1/2}\approx \left(\frac{\omega}{\sinh\omega U}\right)^{1/2} e^{\frac12(\Omega U - \ln \Omega)}$ y resta las divergencias y obtiene la respuesta correcta. Pero ¿por qué $\Omega \to \infty$ ¿cuál es el límite correcto? Cuando regularizamos, normalmente tomamos un límite al final para "deshacerlo". Por ejemplo, en QFT tomamos $d= 4-\epsilon$ y luego tomar $\epsilon \to 0$ al final.

Answer 1

Sólo te interesa la dependencia del determinante de $U$ aquí (el valor numérico para un $U$ depende de la constante de normalización en la medida funcional y, por tanto, no es física).

La expresión para el determinante que has dado exhibe $U$ -independencia para $\omega \rightarrow \infty$ (el $j$ -es pequeño en comparación con el otro sumando del numerador, y $U^2$ anular la $U^2$ en el denominador). Por lo tanto, en el límite de frecuencia infinita estás dividiendo por a $U$ -una operación que equivale a redefinir la constante de normalización. Esto ya no es cierto para frecuencias finitas. Intuitivamente, poner la frecuencia a infinito deshace la regularización como esperabas.