¿Cómo lidian los matemáticos con alguna previsibilidad en sistemas caóticos?

Question

He estado buscando en los sistemas que son predecibles en algunos sentidos y caótico en los demás. Por ejemplo, considere la posibilidad de un doble péndulo que considera que los movimientos dentro de el péndulo propio cuerpo. El exterior de doble péndulo es un sistema caótico, pero algunos aspectos, tales como la distancia entre dos puntos en el brazo de sí mismo, de manera bastante predecible. Se puede mover cerca de o además, debido a las cepas del movimiento, pero no caótica.

Otro caso que estoy mirando es similar a un patinador en un half pipe, donde ellos simplemente no tienen la energía suficiente para llegar de nuevo hasta el borde superior de la tubería de la mitad. Este tiene un error en la topológico de la mezcla de criterios, ya que no hay regiones que se desarrollan para alcanzar el borde superior. Pero aparte de eso, el movimiento puede ser caótico.

A mí me parece que estos son bastante natural los casos que no se trataría de algún modo estándar se burlan de estos sistemas de separación para ser analizados por métodos normales, pero no puedo encontrar ninguna. ¿Cuáles son los enfoques estándar matemáticos utilizar para refinar el caos de los aspectos de un sistema de predicción de aspecto. O, alternativamente, qué métodos se utilizan para controlar ambos simultáneamente.

Answer 1

TL;DR: Lo que usted describe es normal y no hay nada que tiene que ser tratada.

Sus sistemas no son tan especiales. Todos los sistemas caóticos tienen un acotado espacio de estado y por lo tanto siempre se puede "predecir" que el estado nunca se encuentran fuera de los límites. Por lo general puede hacer algunas declaraciones acerca de las frecuencias de oscilación y similares propiedades generales del sistema. En términos más generales, el caos sólo significa que usted no puede predecir el estado del sistema, pero todavía se puede predecir y caracterizar su dinámica.

Además, un sistema caótico puede tener conserva las propiedades tales como la energía en el (sin fricción) doble péndulo o, si así lo desea, la distancia entre los extremos de una pierna si usted hace la simplificación de la suposición de que es fijo, pero incluyen por separado en el modelo. De nuevo, esto no es muy raro o sorprendente. Tampoco es exclusivo de los sistemas caóticos. Las herramientas que cuenta con este (procedentes sobre todo de mecánica teórica) se aplican aquí también. En particular, esto no es algo que necesita ser particularmente los "tratados" (excepto tal vez por el uso de un simpléctica integrador cuando se simula una conservación de energía del sistema).

Este tiene un error en la topológico de la mezcla de criterios, ya que no hay regiones que se desarrollan para alcanzar el borde superior.

El criterio topológico de la mezcla sólo se aplica para el sistema del espacio de fase, no a los puntos fuera de ella.

[puntos en el brazo] puede que se mueva cerca o separadas debido a las cepas del movimiento, pero no caótica.

¿Cómo llegar a esta conclusión? Si usted se considera un brazo para ser elástico, la deformación es impulsado por el movimiento del péndulo, que son caóticas. Por lo tanto debe ser caótica en sí (aunque de baja magnitud).