En un topos con un NNO, ¿cómo se define el subobjeto "$<$ '' de$\mathbf N\times\mathbf N$?

Question

El primer problema en el Capítulo VI de Poleas en la Geometría y la Lógica: Una Primera Introducción a la Teoría de Topos por Mac Lane y Moerdijk tiene dos partes. La primera parte (que ya he hecho) se puede encontrar en este stackexchange post, y le pide al lector mostrar que, en un topos, cada flecha $\mathbf N \times X \xrightarrow{f} Y$ es dado únicamente por algunos $X \xrightarrow{g} Y$ y otro $X \times Y \xrightarrow{h} Y$ cuando el siguiente diagrama conmuta.

\begin{array}{rclcl} 1 \times X & \xrightarrow{0_N \times 1_X} & \mathbf N \times X & \xrightarrow{s \times 1_X} & \mathbf N\times X \newline \pi_2 \downarrow & & \downarrow (f, \pi_2) & & \downarrow f \newline X & \xrightarrow{(g, 1_X)} & Y\times X & \xrightarrow{h} & Y \end{array} En el diagrama de arriba, $\pi_j$ es el $j$th proyección, y $1 \xrightarrow{0_N} \mathbf N \xrightarrow{s} \mathbf N$ es un NSIN. La segunda pregunta de las muchas definiciones que hacen uso de la recursividad en un parámetro: Adición, multiplicación, y el subobjeto < de $\mathbf N \times \mathbf N$. Mac & Moe llaman a esto "la recursividad en un parámetro".

Ahora, he definiciones para la adición y la multiplicación funcionado, pero me parece que no puede encontrar la correcta $g$ e $h$ para el subobjeto <. Lo que me gustaría es una sugerencia, no una solución, en cuanto a dónde buscar.

Algunos pensamientos sobre el asunto: yo me imagino que desee $X = \mathbf N$ e $Y = \Omega$, donde $\Omega$ es el subobjeto clasificador, por lo que $\mathbf N \times \mathbf N \xrightarrow{f} \Omega$ es la clasificación de mapa para $< \subseteq \mathbf N \times \mathbf N$. Mi primer intento fue a tomar $g(n)$ a ser la fórmula "$0 < n$" ($g$ es el mapa de características de la retirada de $s$ a lo largo de $1_\mathbf N$), y $h = \pi_1$. Aquí yo estaba tratando de modelo el ejemplo, "$2 < 5$ porque $1 < 4$ porque $0 < 3$," pero eso no es cómo sucedieron las cosas. En cambio, en $\mathbf{Sets}$, esto daría \begin{align} f (1, 1) &= f \circ (s \times 1_N) (0, 1)\newline &= f (0, 1), \end{align} que no es lo que quiero. También traté de probar diferentes teorema de uno en la primera parte, para que la idea funcione, en la que el "$s \times 1_X$" se sustituye por "$s \times s$" en el diagrama, pero esto también venía con problemas.

Answer 1

La definición de $<$ en términos de la suma, como en el último párrafo de Derek Elkins la respuesta, parece ser una de las favoritas de muchos topos teóricos. Mi preferencia es la de definir $x<y$ por inducción en $y$. (Formalmente, que significa definir el curry versión $\mathbb N\to\Omega^{\mathbb N}:y\mapsto(x\mapsto [x<y]$ del predicado $<:\mathbb N^2\to\Omega$.) La perspectiva de las cláusulas de los $$ [x<0] = \bot $$ y $$ [x<s(y)]=([x<y]\lor[x=y]). $$

Answer 2

Pensar en cómo se podría calcular esta dado solo estructural de la recursividad en los naturales. Te gustaría probable es que tenga una definición como: $$\begin{align}f(0,n)&=n\neq 0\\f(m+1,0)&=\bot\\f(m+1,n+1)&=f(m,n)\end{align}$$ Esto corresponde a un entramado de inducción. Podemos hacer que se ajuste el formato de mejor a través de: $$\begin{align}f(0)(n)&=n\neq 0\\f(m+1)(n)&=g(n)\\ g(0)&=\bot\\g(n+1)&=f(m)(n)\end{align}$$ Esto presenta $f$ como $f:\mathbb N\to\Omega^\mathbb N$. Sin embargo, $g$'s definición depende de $f$ y estos son mutuamente recursivas, entonces, ¿cómo podemos lidiar con eso. Fácil, abstracto. $$\begin{align}f(0)(n)&=n\neq 0\\f(m+1)(n)&=g(n,f(m))\\ g(0,h)&=\bot\\g(n+1,h)&=h(n)\end{align}$$ Ahora puede definir $g$ de forma independiente y, a continuación, defina $f$ en términos de $g$. Yo voy a dejar a usted para formular esta en el idioma de primaria topos.

Como una alternativa, a menudo nos definen $m\leq n$ como $m\leq n \iff \exists k:\mathbb N.m+k=n$. Podemos definir fácilmente las $<$ en términos de $\leq$. Dado que ya se ha definido, además, esto también puede ser expresado en el lenguaje de la primaria "topos". En este caso, no (directamente) requieren el universal propiedad de un NSIN. Indirectamente requiere a través de la definición de adición, por supuesto.