No es un resultado obtenido mediante la prueba de Kolmogorov en [1]. Se requiere de una condición más: se pueden reemplazar algunos de los subgrupos de los argumentos por sus valores de la media y esto no debe cambiar el valor de la totalidad de la media. Formalmente, podemos decir que la secuencia de funciones de $\{M_n: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\}_{n=1}^\infty$ define un tipo regular de decir que si
- $M_n$ es continua y monótona creciente por parte de cada uno de los argumentos para todos los $n$;
- $M_n$ es simétrica para todos los $n$;
- $M_n(x,x,\dots,x) = x$ para todos los $n$;
- $M_{n+m}(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m) = M_{n+m}(x,\dots,x,y_1,\dots,y_m)$ donde $x = M_n(x_1, \dots, x_n)$ para todos los $m,n$.
El estado es el siguiente:
Medios de tipo regular se $f$-medio.
Aquí vamos a comprobar el estado de los medios de tipo normal con delimitada de dominio, es decir, considerar sólo los argumentos de algunos intervalos finitos $[a,b]$. A continuación, la prueba puede ser fácilmente generalizado para el caso de infinito dominio.
Prueba: Vamos a utilizar la notación $M(m[x], n[y]) = M_{m+n}(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n)$ donde $x_1 = \dots = x_m = x$ e $y_1 = \dots = y_n = y$ (es decir, la media de $m$ valores $x$ e $n$ valores $y$). Utilizando las propiedades 3 y 4 obtenemos
$$
M(pm[x], pn[y]) = M\big(p\big[M(m[x], n[y])\big]\big) = M(m[x], n[y]).
$$
Así, por $mn' = nm'$ hemos
$$
M(m[x], n[y]) = M(mn'[x], nn'[y]) = M(nm'[x], nn'[y]) = M(m'[x], n'[y]).\la etiqueta{1}
$$
Ahora, para cada número racional $0 \leq z = \frac{p}{q} \leq 1$ uno puede definir la función de $\psi(z)$ , de la siguiente manera:
$$
\psi(z) = M(p[b], (p-p)[a])
$$
($a$ e $b$ son los límites de los argumentos de dominio). Esta definición es correcta: de hecho, para todos los pares de $p/q = p'/q'$ tenemos $p(q' - p') = (q - p)p'$, por $(1)$ valor de $\psi$ es único para cualquier $z$.
Vamos a mostrar ahora que la monotonía de la $M$ inducir la monotonía de la $\psi$. Considere la posibilidad de dos números racionales $1 \ge z' > z \ge 0$. Uno puede representar en forma de $z = p/q$, $z' = p'/q$ donde $p' > p$. A continuación, utilizando la propiedad 1 obtenemos
$$
\psi(z') = M(p'[b], (p - p')[a]) > M(p[b], (p-p)[a]) = \psi(z).
$$
Ahora, desde la $\psi$ es monótonamente aumentar existe la función inversa $\psi^{-1}$ que es monótonamente creciente demasiado.
Consideremos ahora el conjunto de los números $x_i = \psi(z_i)$, $i = 1,\dots,n$, donde $z_i$ son racionales. Una vez más, utilizamos la representación $z_i = p_i/q$ con denominador común. Entonces
$x_i = M(p_i[b], (q-p_i)[a])$ e (por la propiedad 4)
$$
\begin{align}
M(x_1,\dots, x_n) = M\big((p_1 + \dots + p_m)[b],(nq - p_1 - \dots - p_n)[a]\big) = \\
=\psi\left(\frac{p_1 + \dots + p_n}{nq}\right) = \psi\left(\frac{z_1 + \dots + z_n}{n}\right) =\\ = \psi\left(\frac{\psi^{-1}(x_1) + \dots + \psi^{-1}(x_n)}{n}\right) \tag{2}
\end{align}
$$
cual es la forma de $\psi^{-1}$-media.
Por último, vamos a demostrar que $\psi$ es continua para todos los $0 < z < 1$. Supongamos que esto no es cierto en algún momento $z'$, por lo que $u = \psi(z' - 0) \neq \psi(z' + 0) = v$. De $(2)$ para dos números racionales $z_1, z_2$ hemos
$$
M(\psi(z_1), \psi(z_2)) = \psi\left(\frac{z_1 + z_2}{2}\right).
$$
Ahora podemos hacer un pasaje $z_1 \to z'- 0$, $z_2 \to z' + 0$ lo que implica
$$
\psi(z') = \lim_{\matriz{z_1\z' - 0 \\ z_2\z' + 0}} \psi\left(\frac{z_1 + z_2}{2}\right) = M(u,v) > u.
$$
Pero siempre es posible hacer $\frac{z_1 + z_2}{2} < z'$ , de modo que $\frac{z_1 + z_2}{2} \to z' - 0$ y, a continuación, $\lim\psi\left(\frac{z_1 + z_2}{2}\right) = u$. Esta contradicción muestra que $\psi$ es continua en el punto de $z'$. El mismo se concluye por los puntos de $0$ e $1$.
Así que podemos ver que los valores de $\psi(z)$ racional, $z$ forma un denso conjunto en el intervalo entre la $a = \psi(0)$ e $b = \psi(1)$, y así podemos extender el dominio de $\psi$ para todo el intervalo de $[0,1]$ restante resultado $(2)$ sostiene por la continuidad.
Referencias:
[1] Колмогоров А.Н. Избранные труды. Математика и механика. - М.: Наука, 1985 (en ruso)
