Hay un ejemplo de una formalmente liso de morfismos que no es lisa?

Question

Una de morfismos de los esquemas es formalmente liso y localmente finito de presentación del fib que esté suave.

¿Qué sucede si eliminamos a la finitely presentado hipótesis? Por supuesto, localmente finito de presentación es parte de la suavidad, de modo que implicilty estoy pidiendo por la llanura a fallar.

Answer 1

He aquí un ejemplo elemental. Para cualquier campo $k$, considerar el anillo de $k[t^q|q\in\mathbb Q_{>0}]$, lo que voy a abreviar $k[t^q]$. Afirmo que el cociente natural $k[t^q]\to k$ dado por el envío de $t^q$ $0$es formalmente liso, pero no plana, y por lo tanto no es suave.

Primero vamos a mostrar es formalmente liso. Deje $A$ ser un anillo con plaza de cero ideal $I\subseteq A$, y supongamos que tenemos mapas $f:k[t^q]\to A$ $g:k\to A/I$ haciendo la siguiente plaza conmutar (me atrajo hacia atrás porque probablemente estás pensando de Especificaciones de todo)

$$ \begin{array}{ccc} A/I & \xleftarrow g & k \\ \uparrow & & \uparrow\\ A & \xleftarrow f & k[t^q] \end{array} $$

Nos gustaría mostrar que hay un mapa $k\to A$ llenando el diagrama. Para cualquier $q\in \mathbb Q_{>0}$, tenga en cuenta que $f(t^q)\in I$ por la conmutatividad de la plaza, por lo $f(t^{2q})\in I^2=0$. Pero cada $q$ es de la forma $2q'$ algunos $q'$, por lo tanto hemos demostrado que $f(t^q)=0$ todos los $q\in \mathbb Q_{>0}$. Por lo $f$ factores a través de $k$, como se desee.

Ahora vamos a demostrar que $k$ no es plana por $k[t^q]$. Considere la secuencia exacta $$0\to (t)\to k[t^q]\to k[t^q]/(t)\to 0.$$ Cuando el tensor de con $k$, se obtiene $$0\to k\to k\to k\to 0,$$ que obviamente no es exacto. Por lo $k$ no es plana por $k[t^q]$.

Answer 2

Este papel por Fishel-Grojnowski-Teleman muestra que el "bucle Grassmannian" G((z))/G[[z]] es formalmente liso, pero no satisface Hodge de descomposición, por lo tanto no es suave: http://arxiv.org/abs/math.AG/0411355