¿Cuándo es $y=|P(x)|$ ¿es diferenciable?

Question

Sea $P:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ denota la función polinómica. Cuando es $y=|P(x)|$ ¿Diferenciable?

Descubrí que $y=|P(x)|$ puede ser diferenciable a lo largo de $\mathbb{R}$ o puede que no. Cuando no es diferenciable a fondo $\mathbb{R}$ los puntos de no diferenciabilidad se dan en $P(x)=0$ . ¿Se pueden dar más detalles al respecto?

Answer 1

$|P(x)|$ es diferenciable si no tiene raíces simples reales. En otras palabras, siempre que $P(x_0)=0$ entonces $P'(x_0)=0$ también.

Answer 2

He votado la respuesta de Arthur, pero me gustaría añadir una perspectiva sobre por qué la respuesta de Arthur es correcta, ya que ninguna de las respuestas parece abordar el por qué de la misma.

Sea $$\newcommand\sgn{\operatorname{sgn}}\sgn(x) = \begin{cases} -1 &x<0\\1&x\ge0\end{cases}$$ sea la función signo que devuelve el signo de su argumento. Observe que $|x|=x\sgn(x)$ .

Así, si $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ es cualquier función de valor real, $|f|(x) = f(x)\sgn(f(x))$ . Si $f$ es diferenciable, entonces cuando $f(x)\ne 0$ , ambos $f(x)$ y $\sgn(f(x))$ son diferenciables, por lo que podemos aplicar la regla del producto para obtener $$|f|'(x) = f'(x)\sgn(f(x)) + f(x)f'(x)\sgn'(f(x)),$$ pero $\sgn'(x)=0$ cuando $x\ne 0$ por lo que el segundo término es $0$ . Así $$|f|'(x) = f'(x)\sgn(f(x)),$$ cuando $f(x)\ne 0$ .

¿Y cuando $f(x)=0$ ?

Echemos un vistazo al límite. $$|f|'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{|f(x+h)|-|f(x)|}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|f(x+h)|}{h}= \lim_{h\to 0} \left|\frac{f(x+h)}{h}\right|\sgn(h).$$ Este límite existe si y sólo si los límites izquierdo y derecho existen y coinciden, pero en el límite derecho $\sgn(h)=1$ y obtenemos $|f'(x)|$ y en el límite izquierdo $\sgn(h)=-1$ y obtenemos $-|f'(x)|$ . Así, cuando $f(x)=0$ , $|f|$ es diferenciable en $x$ sólo si $|f'(x)|=-|f'(x)|$ que se produce si y sólo si $f'(x)=0$ .

Así obtenemos la respuesta de Arthur, si $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ es diferenciable, entonces $|f|$ es diferenciable en $x$ sólo si $f(x)\ne 0$ o $f(x)=f'(x)=0$ .

Además, cuando es diferenciable, $|f|'(x) = f'(x)\sgn(f(x))$ .

Answer 3

Si $P$ es un polinomio, entonces $|P|$ es continua. Porque la continuidad, si $P(a)>0$ , también es positivo en un barrio de $a$ Así que $|P|=P$ en las proximidades de $a$ y, por tanto, diferenciable en $a$ porque $P$ es diferenciable allí. Un argumento similar funciona para la $P(a)<0$ caso también. Si $P(a)=0$ entonces existe un polinomio $Q$ para que $\forall x$ tenemos que $P(x)=xQ(x)$ . Así que $$\frac{|P(x)|}{x}=\frac{|x|}{x}|Q(x)|$$ Si el límite de $Q$ en $a$ es $c \neq 0$ entonces el límite de la izquierda y la derecha son diferentes, por lo que el límite no existe. Si $Q(a)=0$ entonces puedes calcular otro $x$ y obtenemos que el límite es $0$ en $a$ .

Answer 4

Discutir la no diferenciabilidad es más crucial e importante:

La función $P(x)$ que es continua en $x=x_0$ , $P(x_0)=0$ , $P(x_0-h)P(x_0+h)<0$ y $P'(x_0) \ne 0$ , $|P(x)|$ es indiferenciable en $x=x_0$ de lo contrario es diferenciable. $|x|$ es indiferenciable en $x=0$ pero $|x^3|$ es diferenciable aquí. Del mismo modo $|\tan x|$ y $|\sin x|$ no son diferenciables en $x=0.$ La función $|\cos(\pi/x)$ | es indiferenciable en $x=2/(2n+1),n=0,1,2,...$