Forma cerrada de$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{1-\frac{xy}{2}}dxdy$

Question

He intentado usar la matriz jacobiana, pero este método no arrojó resultados significativos. Otra forma es convertir esta integral en $$\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {(n +1) ^ 22 ^ n}$$

Sin embargo, no sé cómo encontrar la suma exacta de esta serie.

Answer 1

Como se mencionó en los comentarios, la función que se usa aquí es $$\mathrm{Li}_2(x)=\sum_{k\ge1}\frac{x^k}{k^2} para que su suma sea dada por $S=\frac12\mathrm{Li}_2(\frac12)$ . Para evaluar esto exactamente, usamos la fórmula $$\mathrm{Li}_2(z)+\mathrm{Li}_2(1-z)=\frac{\pi^2}{6}-\ln(z)\ln(1-z) y insertamos $z=1/2$ para obtener $$S=\frac{\pi^2}{24}-\frac{\ln^2(2)}{4}.