¿$\sum _n \int_0^{\frac{\pi }{2}} \cos ^n(x) \, dx$ Converge?

Question

He intentado aplicar: https://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_convergence_theorem

y terminó con:

$\int_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{1}{1-\cos (x)} \, dx$ y una suposición de que $\left| \cos (x)\right| <1$

¿Hice algún lío, o esta suma simplemente no converge?

(Intenté usar Mathematica, pero no encontró nada que valiera la pena mencionar)

Answer 1

Como todas las funciones involucradas no son negativas, existe una equivalencia entre la convergencia de $\sum _n \int_0^{\frac{\pi }{2}} \cos ^n(x) \, dx$ y la de $\int_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{1}{1-\cos (x)} \, dx$ . Para este último, los problemas potenciales están en cero. Podemos decidir, mirando un equivalente de $\frac{1}{1-\cos (x)}$ cerca de cero (que se desprende de la definición de derivado).