Sea $k$ un campo. Estoy tratando de definir una función en $k[x_1, ..., x_n]$ . Sin embargo, no conozco ninguna manera de escribir un elemento arbitrario de este anillo de manera eficiente. He leído en alguna parte sobre el uso de la $S_n$ -órbita, pero eso también parecía engorroso. Tal vez tenga que aceptar que es engorroso, pero se agradece cualquier idea.
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Qué $k[x_1,\dots,x_n]$ en realidad significa es el conmutativo libre $k$ -generada a partir del conjunto $\{x_1,\dots,x_n\}$ . Podemos generalizar esto a $k[I]$ para cualquier conjunto $I$ . Por supuesto, sólo escribir $k[I]$ sin comentarios definitivamente llevará a la confusión. Si escribiera un artículo considerable que aprovechara un poco esta notación, podría definir la notación para un conjunto arbitrario, y luego afirmar que $k[x_1,\dots,x_n]$ es la abreviatura de $k[\{x_1,\dots,x_n\}]$ (suponiendo que todos los $x_i$ son distintos). 1
Para sus fines, un compromiso más práctico sería escribir $k[\{x_i\}_{i\in I}]$ donde también tiene $\{f_i\}_{i\in I}$ y $\rho$ se convierte simplemente en $\rho(x_i)(v)=f_i(v)$ . A menudo $[n]$ (o simplemente $n$ ) se utiliza para la notación del $n$ -conjunto de elementos $\{0,\dots,n-1\}$ (o $\{1,\dots,n\}$ si eres un maleducado), así que podrías decir $k[\{x_i\}_{i\in[n]}]$ y $\{f_i\}_{i\in[n]}$ .
Notación como $\{a_i\}_{i\in I}$ se utiliza habitualmente para representar el $I$ -familia de objetos indexados $a_i$ . Si todos los $a_i$ se extraen de un conjunto que los engloba, $A$ se puede identificar con una función $I\to A$ . En la teoría de conjuntos, dicha función es un conjunto de pares, por lo que si se quisiera realmente precisa, debería tener algo así como $\rho((i,x_i))(v)=f_i(v)$ .
1 En realidad, conociéndome, yo no y sólo lo mencionaría para explicar la conexión con una notación más típica, si es que la mencionara.
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Si $I : \{1, \ldots, n\} \to \Bbb{N}$ es una secuencia de $n$ números naturales $\langle i_1, \ldots, i_n\rangle$ , escriba $x^I$ para $x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n}$ . El $x^I$ son una base para $k[x_1, \ldots, x_n]$ como un espacio vectorial sobre $k$ y cualquier elemento de $k[x_1, \ldots, x_n]$ puede escribirse de forma única como una suma $\sum_I a_I x^I$ donde sólo un número finito de los coeficientes $a_I \in k$ son distintos de cero. ¿Ayuda eso?
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Ya veo, pero para mis propósitos no... Dado $n$ $k$ -Mapas lineales $f_1, \ldots f_n : V \rightarrow V$ quiero definir un homomorfismo $\rho : k[x_1, \ldots, x_n] \rightarrow \text{Aut}_k(V)$ al establecer $\rho(x_i)v := f_i(v)$ . Creo que he encontrado una manera ahora, que voy a publicar en un minuto.
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$\sum_{i_1, \ldots, i_k} \lambda_{i_1i_2\ldots i_k}x_1^{i_1}x_2^{i_2}\ldots x_k^{i_k}$ , para $0 \leq i_j \leq n_j$ y $1 \leq j \leq k$ . (Aquí $n_j$ es el grado del $j-$ de la variable).
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@JosvanNieuwman Tengan cuidado, esa función $\rho$ sólo se definirá si el $f_i$ todos se desplazan entre sí. De lo contrario, querrá el anillo $k\langle x_1,\ldots,x_n\rangle$ El álgebra libre no conmutativa .
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Tienes toda la razón. En mi situación, la conmutatividad por pares del $f_i$ se da.