Tenemos el siguiente teorema de Hodge, de la siguiente manera: $$\dim \ker \Delta^p = \dim H^p(M) = b_p(M).$$Mi pregunta es, ¿qué es la intuición detrás de esta afirmación?
Respuestas
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Hodge teoría es un gran tema, especialmente desde Deligne y Griffiths revolucionado y algebraized alrededor de 1970, con la introducción de variaciones de Hodge y estructuras mixtas Hodge estructuras axiomáticas enfoques que se encuentran un sinfín de aplicaciones en la geometría algebraica.
En la mayoría de los de nivel primaria, diría que la teoría de Hodge es un refinamiento de De Rham cohomology:
De Rham demostrado que la clásica singular cohomology $H^*_{sing}(M,\mathbb R)$ de un suave compacto colector $M$ es el mismo que el cohomology $H^*_{deRham}(M)$ de los complejos de suaves formas diferenciales $\Omega^*(M)$.
Esto significa que un cohomology de la clase puede ser representado por un cerrado de forma diferenciada.
Pero que uno debe elegir? Desafortunadamente, no hay elección canónica.
Hodge teoría proporciona una solución agradable para esta consulta: introducir una estructura de Riemann en $M$ y, a continuación, cada cohomology de la clase $c\in H^k_{deRham}(M)$ contendrá uno y ond sólo uno cerrado armónica de la forma $\omega \in \Omega^k_{Harm}(M)$ representando : $c=[\omega]$.
Armónico aquí significa aniquilado por el de Laplace-Beltrami operador $\Delta^k:\Omega^k(M)\to \Omega^k(M)$, un análogo de $k$-formas de la norma operador de Laplace $\Delta=\Delta^0:C^\infty(M) \to C^\infty(M)$ para las funciones.
Hodge teoría de inmediato te permite demostrar lo finito-dimensionalidad de $H^k_{deRham}(M)$ y también se que la dualidad de Poincaré gratis: $H^{n-p}_{deRham}(M)\simeq (H^{p}_{deRham}(M))^*$
El precio a pagar por Hodge teoría es, sin embargo, algunas inversiones en la teoría de la elíptica operadores, que algunos geómetras ignorante de ecuaciones diferenciales parciales (como yo) es difícil ir.
Andreas Cap
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Yo diría que la intuición básica es que una métrica de Riemann define un producto interior en el espacio de formas diferenciales, que puede ser usado para definir un operador adjunto al exterior derivados. Nowconsider la adjoint $(d_{k-1})^*:\Omega^k\to\Omega^{k-1}$$d_{k-1}:\Omega^{k-1}\to\Omega^k$. Si los espacios de $\Omega^\ell$ fueron todos finito dimensionales, a continuación, $ker((d_{k-1})^*)$ sería el orthocomplement de $im(d_{k-1})$. Por lo tanto $ker((d_{k-1})^*)\cap ker(d_k)$ sería un complemento a $im(d_{k-1})$ $ker(d_k)$ y por lo tanto el proyecto isomorphically en el cohomology espacio de $H^k$. Por eso ves que $ker((d_{k-1})^*)\cap ker(d_k)$ tendría la misma dimensión como $H^k$.
El uso de adjointness de nuevo, es fácil comprobar que (si las cosas fueron finito dimensionales) la definición de $\Delta_k=d_{k-1}\circ (d_{k-1})^*+(d_k)^*\circ d_k$ obtener $ker(\Delta_k)+ker((d_{k-1})^*)\cap ker(d_k)$. (Esto es como $\Delta(\phi)=0$ implica $0=d\Delta(\phi)=dd^*d\phi=0$ (desde $dd=0$) y el uso de adjointness dos veces, uno se $d\phi=0$, e igualmente para $d^*$.)
Usando el análisis funcional/PDE teoría como se mencionó en la respuesta de @GeorgesElencwajg , una prueba que este sigue manteniendo en un compacto de colector a pesar del hecho de que uno se ocupa de infinitas dimensiones de los espacios.
