Relación entre un determinante y las raíces de una ecuación cúbica

Question

La siguiente es una pregunta de un examen de acceso a la universidad de 1947.

Dejemos que $a$ , $b$ y $c$ sean las raíces de la ecuación cúbica:

$$ x^3+px+q=0$$

y denota

$$ S_n=a^n+b^n+c^n$$

Pregunta (1): exprese el siguiente determinante en términos de $p$ y $q$ : $$ \Delta = \begin{vmatrix} S_0 & S_1 & S_2 \\ S_1 & S_2 & S_3 \\ S_2 & S_3 & S_4 \end{vmatrix} $$ Pregunta (2): demuestre que

• Cuando $\Delta>0$ , $a$ , $b$ y $c$ son raíces reales distintas
• Cuando $\Delta<0$ una raíz es real y las otras dos son complejas conjugadas
• Cuando $\Delta=0$ todas las raíces son reales, y al menos dos de ellas son iguales

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A mí me basta con introducir la fórmula cúbica (por ejemplo, utilizando Mathematica) para obtener la respuesta a la pregunta (1). Sin embargo, estas herramientas informáticas no están disponibles en 1947. Además, teniendo en cuenta que se trata de un entorno de examen, no se espera que uno dedique demasiado tiempo a ello. Así que mi pregunta es: ¿hay alguna forma ingeniosa de resolverla?

Answer 1

El $S_j$ obedecen a la recurrencia $$S_{n+3}+pS_{n+1}+qS_n=0.$$ Pero $S_0=3$ , $S_1=0$ , $$S_2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)=-2p.$$ Así que $$S_3=-pS_1-qS_0=-3q$$ y $$S_4=-pS_2-qS_1=2p^2$$ etc.

$\Delta=VV^T$ donde $$V=\begin{pmatrix}1&1&1\\ a&b&c\\ a^2&b^2&c^2 \end{pmatrix}$$ es una matriz de Vandermonde. Entonces $\det V=(c-b)(c-a)(b-a)$ Así que $\det\Delta=0$ si dos de las raíces son iguales. Si todas son reales y distintas, $\det V$ es real, y $ \det\Delta =(\det V)^2>0$ . Si dos son imaginarios, son conjugados complejos, y $\det V$ es puramente imaginario, y $\det\Delta <0$ .

Answer 2

Tenemos, por Las fórmulas de Vieta , $$ e_1=0, e_2=p, e_3=-q, e_4=\dots=0 $$ Así que usando Fórmulas de Newton-Girard : \begin {align*} S_1 &= e_1 = 0 \\ S_2 &= e_1S_1 - 2 e_2 = -2p \\ S_3 &= e_1S_2 - e_2S_1 + 3e_3 =-3q \\ S_4 &= e_1S_3 - e_2S_2 + e_3S_1 +4e_4=2p^2 \end {align*} y ahora introduce tu determinante para la pregunta (1).

Para la pregunta (2), observe que $\Delta$ es el discriminante $(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2=-4p^3-27q^2$ . Es plausible que la resolución de la cúbica deprimida fuera examinable en 1947, ciertamente todavía se trata en algún libro de texto de secundaria hoy en día.