¿Qué significa$\text{Sp}(n)\cdot\text{Sp}(1)$ en la lista de holonomía de Berger?

Question

Esta es, probablemente, una pregunta tonta.

Yo estaba mirando de Berger clasificación para holonomy grupos, y el cuarto elemento es la "Cuaterniones-Kähler colectores, $\,\dim M=4n, \,\text{Hol}=\text{Sp}(n)\cdot\text{Sp}(1)$".

Primero pense $\text{Sp}(n)\cdot\text{Sp}(1)$ destinado la suma directa en el grupo de teoría de sentido. Pero según de Rham del teorema de la descomposición, esto significaría $M$ es reducible, lo que contradice una de las hipótesis de Berger del teorema.

Me estoy perdiendo algo? ¿Qué $\text{Sp}(n)\cdot\text{Sp}(1)$ significa realmente?

Answer 1

Usted debe pensar en la $Sp(n)\cdot Sp(1)$ como el quaternionic versión de unorientable.

Más precisamente, $Sp(n)\cdot Sp(1)$ es $(Sp(n)\times Sp(1))/\langle (-I,-1)\rangle$, Si se piensa en $Sp(n)\subset GL(n,\mathbb{H})$ como el grupo de los invertible quaternionic matrices que actúa sobre el derecho-quaternionic espacio vectorial $\mathbb{H}^n$ a la izquierda preservar el estándar de Hermitian formulario, a continuación, $Sp(n)\cdot Sp(1)$ tiene un factor adicional, $Sp(1)$ actuando por derechode multiplicación, por lo tanto el cociente por el gobierno central $\pm 1$, y ya no preservar la quaternionic estructura de espacio vectorial (ni la compleja estructura de espacio vectorial). Usted no consigue una incrustación en $SU(2n)$ o $U(2n)$, debido a que se multiplican, tanto de izquierda y derecha por los cuaterniones.