Suponga que ha marcado los 64 centros de las unidades cuadradas de un tablero de ajedrez.
Al menos, ¿cuántas líneas necesitas para dividir el plano de forma que no haya dos puntos marcados en la misma región (parte del plano)?
Mi suposición es 14, y me han dicho que esa es la respuesta correcta, ¿Cómo puedo probarlo? Por favor, ayuda.
Los centros del tablero de ajedrez forman un $8$ veces $8$ rejilla de puntos. Hay $28$ segmentos de línea en el borde de esta cuadrícula que conectan dos puntos de borde adyacentes. En concreto, hay $7$ segmentos horizontales en el borde superior, $7$ segmentos verticales en el borde derecho, etc.
Tiene que haber una línea que pase por cada uno de estos $28$ segmentos fronterizos; si hubiera un segmento fronterizo sin una línea que lo atravesara, los dos puntos de los extremos del segmento no estarían separados.
¿Por cuántos segmentos fronterizos puede pasar una sola línea?
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Bueno, es claramente un límite superior, tomando $7$ horizontal y $7$ líneas verticales.
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Hay un problema similar de la OMI. Va de la mano de "supongamos que existe tal $n$ líneas, entonces la ecuación de las líneas es $P(x)=0$ para un polinomio $P$ de grado $n$ "...
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Lo encontré. El problema 6 de IMO 2007. La diferencia es que, el problema de IMO se refiere a "líneas que pasan exactamente por el punto", y el problema que nos ocupa es un poco más "inestable". La solución de Earnest es genial. Consigue estabilizar las líneas por segmentos de frontera.