Tengo un problema con la notación en un espacio de Hilbert

Question

¿Cuál es la diferencia entre estos dos?

$\langle x|x\rangle$ y $|x\rangle\langle x|$

¿Son iguales? Si son lo mismo, ¿por qué se utilizan en estas dos formas diferentes?

Answer 1

No son lo mismo. Uno es el producto exterior y otro el producto interior.

En el caso de los números reales de dimensión finita, por ejemplo, si $$|x\rangle = \begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix},$$ entonces $$|x\rangle\langle x| = \begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{bmatrix},$$ mientras que $$\langle x | x\rangle = \begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix} = 1 + 4 + 9 = 14.$$

Answer 2

En notación Bra-Ket $| x \rangle$ es un vector y $\langle x |$ es un covector. Formalmente, un covector es un mapa que va de $V \rightarrow \mathbb{R}$ es decir, se "come un vector" y te da un número. Cuando escribimos $$ \langle x | x \rangle $$ estamos diciendo que el covector $\langle x |$ actúa sobre el vector $|x\rangle$ Así que $\langle x | x\rangle$ es un número real.

Por otro lado, $$ | x \rangle \langle x| $$ no está actuando en nada. Si le lanzamos algún vector $|a\rangle$ Tendríamos $$ |x\rangle \langle x | a \rangle $$ que es un número real multiplicado por $|x \rangle$ . Hemos dado a lo anterior un vector y hemos obtenido un vector de vuelta por lo que es un mapa entre vectores. Para resumir entonces, $|x\rangle \langle x|$ y $\langle x | x \rangle $ representan diferentes tipos de objetos: el primero es un mapa de $V \rightarrow V$ mientras que el segundo es un elemento $b \in \mathbb{R}$ .

Para ser concretos, dejemos que $$ |x\rangle = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} $$ . Entonces escribiríamos $$ \langle x | = \begin{pmatrix} 1&0\end{pmatrix} $$ que es el conjugado hermitiano de $|x\rangle$ en este caso sólo la transposición. Así que $$ \langle x | x \rangle = \begin{pmatrix} 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = 1 $$ Y $$ | x \rangle \langle x | = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{pmatrix} $$ Un número y un mapa, como era de esperar.

Answer 3

En general $\langle A\vert B\rangle$ es un producto escalar mientras que $\vert A\rangle\langle B\vert$ es un operador. Para entender esta última afirmación, supongamos $\vert \psi\rangle$ es un vector arbitrario en su espacio. Entonces $$ \vert A\rangle\langle B\vert \psi\rangle $$ es un vector proporcional a $\vert A\rangle$ desde $\langle B\vert \psi\rangle \in \mathbb{C}$ es un número (complejo), por lo que $\vert A\rangle\langle B\vert$ asigna un vector a otro vector.