Problema de números primos y cuadrados

Question

Cuántos pares de números naturales, no mayores que 100, son tales que la diferencia entre ese par es un número primo, y su producto es un cuadrado de un número natural.
Mi intento: Intenté escribir una relación como $x-y=p$ y $xy=n^2$ pero no encuentro ningún patrón para enumerarlo.

Answer 1

Bien, si tienes $x-y=p$ , entonces ambos $x$ y $y$ son divisibles por $p$ o ambos no lo son.

Si no lo son, entonces $x$ y $y$ son coprimos, y siendo su producto un cuadrado, esto significa que ambos deben ser también cuadrados: $x=i^2,\;y=j^2$ en cuyo caso sus factores de diferencia se convierten en $(i-j)(i+j)$ y sólo puede ser un primo si $i=j+1$ . Como señaló Ethan, no hay muchos valores que comprobar.

Si lo son, entonces $x\over p$ y $y\over p$ son dos enteros que difieren en 1 y, por tanto, también son coprimos. Observa que su producto es $n^2\over p^2$ es decir, también un cuadrado, por lo que deben ser cuadrados ellos mismos, pero dos cuadrados raramente difieren en 1.

Así es.

Answer 2

Si $x - y$ es primo, entonces puede haber como máximo un número que divida a ambos $x$ y $y$ y tiene que ser ese primo. Supongamos que el primo $p$ divide ambos $x, y$ . Por lo tanto, podemos escribir $x = np$ y $y = (n-1)p$ . Entonces tendríamos que $n(n-1)p^2$ es un cuadrado, por lo tanto también lo es $n(n-1)$ . Pero $n, n-1$ son coprimos, por lo que esto significaría que tanto $n, n-1$ son cuadrados. Esto es imposible, así que $p$ no divide $x$ ou $y$ . De ello se desprende que $x, y$ son coprimos.

Porque $xy$ también es un cuadrado, se deduce que $x, y$ deben ser cuadrados individualmente -- así que escriba $x = a^2, y = b^2$ . Ahora un cuadrado es una suma de números Impares, $$ a^2 = \sum_{k=1}^a 2k-1, $$ así que $$ a^2 - b^2 = \sum_{k=b+1}^a 2k-1. $$ Pero nos encontramos con una restricción: si tenemos una secuencia de números Impares de más de un término, digamos $5, 7, 9$ ou $25, 27$ Entonces son un múltiplo de su media. La primera suma es igual a $3 \times 7$ y el segundo $2 \times 26$ . Por lo tanto, debemos tener que la suma está formada como máximo por un término, y tenemos $a = b+1$ y la suma es primo si y sólo si $2a-1$ es primo.

Al final sus números son los $x, y$ tal que $x = \left(\frac{p+1}{2}\right)^2$ y $y = \left(\frac{p-1}{2}\right)^2$ , donde $p$ es un primo de impar.

Answer 3

Se puede proceder a la reducción en $\pmod 4$ . es decir $n^2 \equiv 0,1 \pmod 4$ y $p \equiv 1,3 \pmod 4$ . Así, el problema reducido es $$xy\equiv 0,1 \pmod 4$$ $$x-y\equiv 1,3 \pmod 4$$ A partir de esto se puede saber $(x,y)$ .