Si$x, y, z$ son tres enteros positivos distintos, donde$x + y + z = 13$ y$xy, xz, yz$ forman una aritmética ...

Question

Si $x, y, z$ son tres números enteros positivos, donde $x + y + z = 13$ e $xy, xz, yz$ forma de un aumento de la progresión aritmética, ¿cuál es el valor de $(x + y)^z$ ?

He estado tratando de resolver esto a través de la formación de ecuaciones basado en fórmulas ($yz - xz = xz - xy$) y tratando de limpiar a través de sistemas de ecuaciones (yo lo hice de $(13 - z)^2 = 13$), pero me parece que no puede encontrar la solución.

Answer 1

Si $xy$, $xz$ e $yz$ forman una progresión aritmética, el aumento en ese orden, a continuación, $z>y>x$ así, en particular, $y\leq5$ ya que de lo contrario $x+y+z\geq1+6+7=14$. Esto ya deja sólo $10$ trillizos $(x,y,z)$ a comprobar. Nos pueden seguir para reducir el número de tripletes señalando que $$(y-x)z=yz-xz=xz-xy=x(z-y),$$ lo que muestra que $x$ divide $yz$ e $z$ divide $xy$. En particular, este último muestra que $$xy\geq z>y>x,$$ por lo $x>1$. Por otra parte, debido a $z=13-x-y$ esta desigualdad muestra que $$(x+1)(y+1)\geq14.$$ Estas condiciones reducen enormemente las posibilidades de $(x,y,z)$; ahora estamos a la izquierda con $$(2,4,7),\qquad (2,5,6),\qquad (3,4,6).$$ Vemos que $z$ divide $xy$ sólo para el último triplete, por lo $(x+y)^z=(3+4)^6=117\,649$.

Por supuesto, si la progresión aritmética es decreciente, entonces el intercambio de $x$ e $z$ produce un aumento de la secuencia y, por tanto, la solución encontrada anteriormente. Así que la única disminución de la solución es $(x,y,z)=(6,4,3)$ con $(x+y)^z=1000$.

Answer 2

Esto en realidad no es demasiado malo a la fuerza bruta desde $x + y + z = 13$ y son todos los enteros positivos. En realidad, hay sólo $11$ posibles valores de $x$: $1, 2, 3, \ldots, 11$.

Sin embargo, con un poco de análisis, se puede reducir el número de casos.

Desde $xz - xy = yz - xz$, tenemos que $2xz = xy + yz = y(x+z) = y(13-y)$. Desde \begin{align*} (x+z)^2 \ge 4xz = 2y(13-y), \end{align*} tenemos que \begin{align*} (13-y)^2 \ge 2y(13-y). \end{align*} Desde $0 < y < 13$ (de lo contrario $x = z = 0$ cual es imposible, ya que $x$ e $z$ son enteros positivos), a continuación, $13 - y > 0$ por lo que podemos dividir ambos lados por $13-y$ sin cambiar el signo para obtener \begin{align*} 13-y \ge 2y, \end{align*} por lo que esto implica $y \le 4$. Tenemos 4 casos a considerar.

1. Si $y = 1$, a continuación, $x + z = 12$ e $xz = 6$. Ninguna solución.
2. Si $y = 2$, a continuación, $x + z = 11$ e $xz = 11$. Ninguna solución.
3. Si $y = 3$, a continuación, $x + z = 10$ e $xz = 15$. Ninguna solución.
4. Si $y = 4$, a continuación, $x + z = 9$ e $xz = 18$. Esto le da a $(x,z) = (6,3)$ o $(3,6)$.

Por lo tanto, $(x+y)^z$ es $(6+4)^3 = 1000$ o $(3+4)^6 = 117649$.