El grupo de orden$432$ no es simple

Question

¿Cómo podemos probar que un grupo de $G$ orden $432=2^4\cdot 3^3$ no es simple?

Aquí están mis intentos: Deje $n_3$ el número de Sylow de 3 subgrupos. Entonces, por Sylow del Tercer Teorema de, $n_3\mid 16$ e $n_3\equiv 1 \pmod 3$. Por lo tanto, $n_3=1, 4$ o 16.

A continuación, vamos a $Q_1$ e $Q_2$ ser dos distintos 3-subgrupos tal que $|Q_1\cap Q_2|$ es máxima.

Si $|Q_1\cap Q_2|=1$, entonces podemos concluir $n_3\equiv 1\pmod {3^3}$, lo que obligará a $n_3=1$ y hemos terminado.

Si $|Q_1\cap Q_2|=3$, del mismo modo que podemos concluir de $n_3\equiv 1\pmod {3^2}$, y hemos terminado.

El problema se produce cuando se $|Q_1\cap Q_2|=3^2$, sólo podemos concluir $n_3\equiv 1\pmod 3$ cual es de ninguna ayuda.

Gracias por la ayuda!

Answer 1

Nota primero el siguiente: si $G$ es un simple grupo de e $H$ es subgrupo de índice$n$,, a continuación, $|G|$ divide $n!$ (véase I. M. Isaacs, Teoría de grupos Finitos, Corolario 1.3).

Esto implica que si $G$ es un simple grupo de orden $432$ e $H$ es un buen subgrupo de $2$-índice de poder, uno debe tener $|G:H|=16$.

Ahora podemos continuar donde lo dejó: vamos a $Q_1$, $Q_2 \in Syl_3(G)$, $|Q_1 \cap Q_2|=9$. A continuación, $Q_1 \cap Q_2 \lhd Q_1$ (el índice de $Q_1 \cap Q_2$ es el más pequeño de primer dividiendo $|Q_1|$). Por lo tanto $Q_1 \subseteq N_G(Q_1 \cap Q_2)$. Tenga en cuenta que $N_G(Q_1 \cap Q_2)$ debe ser adecuada, ya que $Q_1 \cap Q_2$ no puede ser normal en $G$. Se sigue por la observación anterior de que $|G:N_G(Q_1 \cap Q_2)|=16$. Pero entonces llegamos a la conclusión de que en realidad $Q_1=N_G(Q_1 \cap Q_2)$. Por el mismo razonamiento, $Q_2=N_G(Q_1 \cap Q_2)$. Por lo $Q_1=Q_2$, una contradicción a $|Q_1 \cap Q_2|=9$.

Answer 2

Deje $G$ ser un simple grupo de orden $432$. Tenga en cuenta que $|G|$ no divide $8!$, por lo tanto no hay una buena subgrupo de $G$ tiene índice en la mayoría de las $8$. Sylow del Teorema de las fuerzas de $n_3(G) = 16 \not\equiv 1 \bmod 9$, por lo que no existe $P_3, Q_3 \in \mathsf{Syl}_3(G)$ tal que $|N_G(P_3 \cap Q_3)|$ es divisible por $3^3$ y otro primo. Por lo tanto $|N_G(P_3 \cap Q_3)| \in \{ 3^3 \cdot 2, 3^3 \cdot 2^2, 3^3 \cdot 2^2, 3^3 \cdot 2^3, 3^3 \cdot 2^4 \}$. En cada caso, bien $P_3 \cap Q_3$ es normal en $G$ o su normalizador tiene suficientemente pequeño índice.

Observación. Para más detalles sobre los pasos que ver aquí.