Está adentro $L^1$?

Question

Deje $\Omega$ ser un subconjunto acotado de $\mathbb{R}^n$, e $d: \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$ ser una función medible. Es cierto que si $$ \int_\Omega df < \infty \ , $$ para cada $f \in C_c(\Omega)$ -- compacto admite funciones continuas, entonces $d \in L^1(\Omega)$?

Notas:

$\Omega$ puede tener muchos componentes conectados.

Si permitimos que todos los "test" de las funciones de $f \in L^\infty (\Omega)$, a continuación, que son básicamente la visualización de $f$ como un elemento en el espacio dual.

Si es necesario, puede agregar el supuesto de que $d$ es constante en cada componente de $\Omega$. La razón de esta extraña condición proviene del hecho de que mi $d$ es en realidad el grado de Brouwer para alguna función.

Gracias de antemano.

Gracias por la rápida contestación de la demanda de varias personas. Ahora añado la hipótesis de que existe una constante universal de $C$ tal que $$ \int_\Omega df < C \ \|f\|_{L^\infty}. $$ ¿Eso cambia algo?

Answer 1

La afirmación es falsa. Su condición de que$\int_\Omega df < \infty$ realmente solo garantiza que$d$ se comporta bien fuera del límite. Aún puede hacer que$d$ explote cerca de$\partial \Omega$ y$d\notin L^1(\Omega)$. Por ejemplo, dejemos que$\Omega = (0,1)$ y$d(x) = \frac 1 x$. Para cualquier$f \in C_c(\Omega)$, tenemos ese$\int_\Omega d f <\infty$. Sin embargo,$$ \int_\Omega |d| = \int_0^1\frac 1 x\, dx = \infty.$ $

Answer 2

Si $d$ es constante en cada componente de $\Omega$, entonces a partir de la $\Omega$ es acotado, $d \in L^1(\Omega)$ es cierto mientras $\Omega$ sólo tiene un número finito de componentes. ( Un límite superior es $|\Omega|max(|d|)$.)

Si $\Omega$ es permitido tener una infinidad de componentes que usted puede construir un ejemplo similar Trevors. Es decir, tomar $\Omega = [0,1] \setminus \{1/2, 1/3, 1/4, \ldots \}$ e tienen $d (x) = n$ para$x \in (1/(n+1), 1/n)$.

Respecto revisado pregunta:

La versión revisada es cierto, creo. Usted puede tomar $f_n (x) = sgn( d(x))1_{A_n}$ donde $A_n$ es un aumento de la secuencia de conjuntos compactos cuya unión es $\Omega$. A continuación,$||f_n||_{\infty} = 1$, por lo que su condición ha $\int d f_n \leq C$.

Pero $\int df_n = \int_{A_n} |d|$, lo que en realidad $\int_{A_n} |d| \leq C$. Ahora, la monotonía teorema de convergencia implica que $\int_{A_n} |d| \to \int_{\Omega} |d|$, y junto con la desigualdad esto muestra que $\int_{\Omega} |d| \leq C$.