Por qué la suma de los ángulos interiores en un polígono convexo es$(n-2)\cdot 180$

Question

Hace un par de días, en mis lecciones de preparatoria de matemáticas, aprendí que la suma de los ángulos interiores en un polígono convexo es:

$Z$ = suma de los ángulos,$n$ = número de lados en el polígono

$Z=(n-2)\cdot 180$

¿Puede alguien ayudarme a entender esta fórmula y por qué es así?

Answer 1

Aquí está un diagrama útil:

La suma de todos los ángulos en todos los triángulos es igual a la suma de los ángulos interiores del polígono. Observe que la forma ha $7$ lados, y que son capaces de encajar $5$ triángulos en su interior cada uno de cuyos ángulos suma a $180$ grados. Esto se generaliza a un $n$ de lados del polígono ser capaz de encajar $n-2$ triángulos en su interior como se muestra arriba. Entonces la suma de los ángulos debe = $(n-2)*180$ grados

Answer 2

Una manera de entender esto es buscar en el exterior los ángulos en una travesía de una manera que rodea el polígono el exterior ángulo el ángulo girado en el paso de cada vértice. (Por ejemplo, en un decagon, el ángulo exterior en cada vértice es $36°$.) Claramente la suma de estos ángulos $\{\epsilon_i\}$ es $360°$, ya que el que llega de vuelta en el borde inicial de haber girado completamente en todo el polígono. El interior de los ángulos $\{\theta_i\}$ son cada una de las $\theta_k=180°-\epsilon_k$, por lo que tiene $$\sum^n \theta_i = \sum^n (180°-\epsilon_i) = n\cdot180° - \sum^n \epsilon_i = n \cdot 180°-360° = (n-2)180°$$

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diagrama para mayor claridad

Answer 3

Empezar con un triángulo.

Seleccione una arista del triángulo, y marca un punto en ella.

Ahora imagina tirando el punto exteriormente lejos de la orilla.

Lo que pasa es que el triángulo original gana 2 más aristas y hay un $180^{\circ} $ desde el triángulo formado por el borde y los dos nuevos.

Esto tiene la ventaja de explicar por qué hay $n-2$ menos de triángulos como cada triángulo está emparejado con el $2$ partes de un borde roto.

Si tengo oportunidad, voy a añadir una animación o si alguien quiere editar siento libre. Esto puede ser extendido para hacer el polígono crecer.

Answer 4

Sugerencia Elija un punto en el interior del polígono. Luego, al dibujar segmentos de línea desde el punto a cada vértice, se divide el polígono en triángulos, pero ya sabe que la suma de los ángulos de un triángulo es$180^{\circ}$.

Answer 5

Vea el caso, cuando$n=3$ es decir, el polígono es un triángulo. Ahora la suma de todos los ángulos interiores de un triángulo es$180^0$ que coincide con la fórmula.
Para$n>3$, podemos dividir el polígono en$n-2$ triángulos. Entonces, la suma de los ángulos interiores será$(n-2)180$.