Si $f(x)f(y)=f(\sqrt{x^2+y^2})$ cómo encontrar $f(x)$

Question

Como sabemos, para la $$f(x)f(y)=f(x+y)$$ $f(x)=\mathrm e^{\alpha x}$ es una solución.

¿Qué acerca de $f(x)f(y)=f(\sqrt{x^2+y^2})$? ¿Alguien sabe acerca de la solución de la ecuación de la función?

Traté de encontrar a $f(x)$. Ver mis intentos de abajo para encontrar a $f(x)$.

$$f(x)=a_0+a_1x+\frac{a_2x^2}{2!}+\frac{a_3x^3}{3!}+\cdots$$

$$f(y)=a_0+a_1y+\frac{a_2y^2}{2!}+\frac{a_3y^3}{3!}+\cdots$$

$$f(x)f(y)=a_0f(y)+a_1f(y)x+\frac{a_2f(y)x^2}{2!}+\frac{a_3f(y)x^3}{3!}+\cdots$$

$$f(\sqrt{x^2+y^2})=a_0+a_1\sqrt{x^2+y^2}+\frac{a_2(x^2+y^2)}{2!}+\frac{a_3(x^2+y^2)^{3/2}}{3!}+\cdots=$$

$$f(\sqrt{x^2+y^2})=a_0+a_1y\sqrt{1+(x/y)^2}+\frac{a_2(x^2+y^2)}{2!}+\frac{a_3y^2(1+(x/y)^2)^{3/2}}{3!}+\cdots=f(x)f(y)=a_0f(y)+a_1f(y)x+\frac{a_2f(y)x^2}{2!}+\frac{a_3f(y)x^3}{3!}+\cdots$$

si utilizamos binom de expansión para $(1+(x/y)^2)^{m}$

$$(1+(x/y)^2)^{m}=1+\frac{mx^2}{y^2}+\frac{m(m-1)x^4}{2!y^4}+\frac{m(m-1)(m-2)x^6}{3!y^6}+\cdots$$

Vamos a poner la expansión de la ecuación de $f(\sqrt{x^2+y^2})$

$$ \begin{align} & f(\sqrt{x^2+y^2}) =a_0 + a_1 y \left( 1 + \frac{(1/2)x^2}{y^2} + \frac{(1/2)((1/2)-1)x^4}{2!y^4} \right. \\ \\ & \left. {} + \frac{(1/2)((1/2)-1)((1/2)-2)x^6}{3!y^6} + \cdots\right) + \frac{ a_2 (x^2+y^2)}{2!} \\ \\ & + \frac{a_3y^2 \left(1+\frac{(3/2)x^2}{y^2}+\frac{(3/2)((3/2)-1)x^4}{2!y^4}+\frac{(3/2)((3/2)-1)((3/2)-2)x^6}{3!y^6}+\cdots\right)}{3!} +\cdots \\ \\ & = a_0f(y)+a_1f(y)x+\frac{a_2f(y)x^2}{2!}+\frac{a_3f(y)x^3}{3!}+\cdots \end{align} $$

Si queremos igualdad para todos los $x^n$ términos en ambos lados

podemos ver $a_{2n-1}=0$, pero para encontrar $a_{2n}$ parece difícil para mí. Cualquier idea para encontrar $a_{2n}$

Gracias de asesoramiento.

Answer 1

Si establece $$g(x) := f(\sqrt{x})$$ for $x \in [0, \infty)$ then you get $$g(x)g(y) = f(\sqrt{x})f(\sqrt{y}) = f(\sqrt{x+y}) = g(x+y)$$

Usted ver que $g(x) \geq 0$, y si $g(x) = 0$ algunos $x > 0$$g \equiv 0$. Por lo tanto, se puede ver en $$h(x) := \log(g(x))$$ It satisfies $$h(x) + h(y) = \log(g(x)g(y)) = \log(g(x+y)) = h(x+y)$$ If you impose any reqularity condition on $f$ you can think of, you will get $h(x) = \alpha x$, and consequently $$f(x) = \exp(\alpha x^2)$$ for $x > 0$. You can generalise this result to $x < 0$ using the fact that from the initial equation it follows that $f$ es par.

Answer 2

Cambio de variable, $g(u) = f(\sqrt{u})$. Usted necesita decidir lo que quiere para el negativo $u$. A continuación, este funcional de la ecuación se convierte en $g(u+v)=g(u)g(v)$.

Answer 3

La respuesta a esta pregunta es un resultado conocido llamado Maxwell del teorema, después de que James Clerk Maxwell. Esta pregunta anterior lidia con esto:

muy elemental en la prueba del teorema de Maxwell