¿Por qué mi afirmación lógica es errónea?

Question

"Exprese la siguiente frase simbólicamente, utilizando sólo cuantificadores para números reales, conectivos lógicos, la relación de orden < y el símbolo Q que tiene el significado de 'x es racional'"

Tengo que traducir la frase "Hay un número racional entre dos números reales desiguales cualesquiera". He trabajado un poco en ello y finalmente he deducido lo siguiente:

$$(\forall x,y\in \mathbb{R})[x> y](\exists q\in \mathbb{Q})[q>y \wedge q< x]$$

A la luz de algunos comentarios, una versión correcta de mi afirmación incorrecta debería ser: $$(\forall x,y\in \mathbb{R})[x!= y \Rightarrow (\exists q\in \mathbb{Q})[q>y \wedge x> q]\vee[y>q \; \wedge \;q>x]]$$

¿Pueden ayudarme a entender por qué ¿mi respuesta es incorrecta?

Answer 1

En tu primera fórmula, siguiendo el consejo de @Danul G, supongo que $\mathbb R$ como el dominio de las variables, y lo reescribiré con el predicado $Q(x)$ (para $x$ es racional ) para mantener la formulación original del problema:

$\forall x \forall y ( x > y ) \exists q (Q(q) \land [q>y \land q<x])$

hay básicamente dos errores :

(i) una sustancial: como se señala en los comentarios anteriores, de esta manera se está asumiendo que $x > y$ pero su problema dice $x \ne y$ por lo que hay que corregir la fórmula en consecuencia.

(ii) la otra está relacionada con la forma en que has escrito la fórmula; la yuxtaposición de las dos subfórmulas no es formalmente correcta: como mucho puedes leerla como conjunción .

Pero de esta manera está diciendo que :

$\forall x \forall y ( x > y )$ y $\exists q (Q(q) \land [q>y \land q<x])$

es decir, que para dos números reales cualesquiera, el primero es mayor que el segundo ( falso ¡! : tomar $0$ como $x$ y $1$ como $y$ ) y ... y la declaración resultante es falso siendo la conjunción de dos fórmulas, una de las cuales es falsa.

Answer 2

Creo que en realidad debería ser $\forall{x,y}(x\neq{y}\implies{\exists{q}(Q(q)\wedge(\neg(x<q)\wedge{x\neq{q}}\wedge{y<q})\vee(\neg{(y<q)}\wedge{y\neq{q}}\wedge{x<q}})))$ .

Esta respuesta está escrita asumiendo que sus variables se extienden a través de $\mathbb{R}$ , ya que técnicamente no tienes $\epsilon$ símbolo en su idioma y $x\neq{y}$ es la abreviatura de $\neg(x=y)$

Answer 3

Prueba el siguiente. Utilizando $\sim$ para negar: traducir la Ley de Tricomotricidad, utilizar $\forall x,y\in\mathbb{R}\colon \phi(x,y)$ y $\phi(x,y)\equiv\sim(x=y)\rightarrow[[x<y]\vee[x>y]]$ . Entonces también tenemos $\forall x\in\mathbb{R}\forall{q}\in Q\colon \phi(x,q)$ y como el antecedente se cumple tenemos $[x<q]\vee[x>q]$ . Lo mismo ocurre con $\phi(q,y)$ . Ahora la existencia de q. Toma p.e. $x<q$ y $q<y$ , fija x e y; entonces tendrás dos conjuntos de racionales para los que el corte no es vacío.

Answer 4

$$\forall x,y\in\mathbb{R} x\not=y \implies \exists q\in\mathbb{Q} (y-q)(q-x) > 0 $$