¿Se puede cambiar el valor de verdad de una propiedad independiente a voluntad al ampliar el modelo?

Question

Deje $\phi$ ser una propiedad que es independiente de $ZFC$, por lo que hay strcutures ${\mathfrak A}=(A,{\in}_A)$ (donde $A$ es un conjunto o clase y ${\in}_A$ es una relación binaria en $A$) que son los modelos de $ZFC+\phi$.

Me pregunto si para cualquier estructura, siempre podemos encontrar una estructura más grande ${\mathfrak B}=(B,{\in}_B)$ (por lo $A \subseteq B$ e ${\in}_B$ coincide con ${\in}_A$ a $A \times A$) que los modelos de $ZFC+\lnot{\phi}$ ?

Un caso especial : parece que si $\phi$ es la declaración de "un cardinal inaccesible existe", entonces inaccesibles cardenales en $\mathfrak A$ permanecerá inaccesible en $\mathfrak B$. Pero desde la independencia de los resultados como de Easton muestran las operaciones aritméticas pueden ser contra-intuitivo de alguna manera en los cardenales, ni siquiera estoy seguro acerca de esto. Puede que los expertos me ayuden en esto ?

Answer 1

Voy a dar una respuesta a su caso particular:

Supongamos que $\frak A$ es un modelo transitivo de $ZFC+I$ donde $I$ es "no existe una sola inaccesible cardenal.". En $\frak A$ definimos la noción de forzar $(P,\le)$ donde $p\in P$ es una función con un número finito de dominio de $\omega$ al inaccesible cardenal, y $p\leq q\iff q\subseteq p$ (en esta notación, $p$ es más fuerte).

Deje $G$ ser $P$-filtro genérico más de $\frak A$, tenga en cuenta que $G$ define un surjective función de $\omega$ sobre el previamente inaccesibles cardenal. Denotar por $\frak B$ es la extensión genérica podemos generar mediante la adición de $G$, que es ${\frak A}[G]$. En $\frak B$ no es inaccesible cardenales. Por lo tanto, agrega un solo set $G$ y ahora $\mathfrak B\models ZFC+\lnot I$.

Tenga en cuenta que $\frak A$ piensa que la cardinalidad de $P$ es la cardinalidad de los inaccesible cardenal que sabe. Sin embargo, si añadimos también el requisito de que $P$ sí tiene cardinalidad de menos que inaccesible, a continuación, no podemos cambiar su inaccesibilidad cuando vayamos a $\frak B$.

Answer 2

Si usted toma un transitiva $\omega$modelo $\mathcal{A}$ de ZFC, se va a satisfacer Con(ZFC). Cualquier extensión transitiva $\mathcal{B}$ seguirá siendo un $\omega$-modelo, y por lo tanto cada transitiva extensión también satisfacer Con(ZFC). (A ver que $\mathcal{B}$ seguirá siendo un $\omega$-modelo, tenga en cuenta que $\mathcal{B}$ aún contendrá el original de la $\omega^\mathcal{A}$, e $\mathcal{B}$ reconocerá $\omega^\mathcal{A}$ como inductivo conjunto que contenga $\emptyset$, lo $\omega^\mathcal{B}$ será un subconjunto inductivo de $\omega^\mathcal{A}$. Pero desde $\omega^\mathcal{A}$ es $\omega$, no tiene una adecuada subconjunto inductivo, por lo $\omega^\mathcal{B} = \omega$. )

Más generalmente, usted debe buscar en el documento "la Lógica Modal de la Fuerza" por Hamkins y Löwe. Ese papel sólo considera obligando a las extensiones, no arbitraria de las extensiones, pero tiene resultados interesantes acerca de la activación de estados independientes y dejar de tomar las extensiones.

Answer 3

$\newcommand\ZFC{\text{ZFC}}$Aunque es de hace algún tiempo, esta interesante cuestión ha llegado a mi atención. Debo decir que le haga algunas muy interesantes preguntas.

Para esto, a pesar de las indicaciones de los comentarios y respuestas, uno puede realmente lograr una respuesta positiva cuando el modelo inicial es contable. Sorprendente como puede ser, la situación de los contables de los modelos de $\mathfrak{A}$ es que la respuesta es ¡sí!

Teorema. Si $\phi$ es independiente de $\ZFC$ e $\mathfrak{A}=\langle A,\in^A\rangle$ es un modelo contable de $\ZFC+\phi$, entonces no es un modelo de $\mathfrak{B}=\langle B,\in^B\rangle\models\ZFC+\neg\phi$ donde $A\subset B$ e $\in^A$ está de acuerdo con $\in^B$ a $A\times A$.

Prueba. Esto se desprende de la incrustación de resultado en mi papel

• J. D. Hamkins, Cada contables del modelo de la teoría de conjuntos incrusta en su propio edificable universo, Diario de la Lógica Matemática, vol. 13, de la iss. 2, p. 1350006 de 2013. También en las matemáticas arxiv.

Este es el papel en el que fue inspirado directamente por (y respuestas) de su anterior pregunta interesante. El principal resultado del estudio muestra que un modelo contable de la teoría de conjuntos $M$ es isomorfo a un submodel de otro modelo de $N$ sólo en el caso de los ordinales de $M$ embed orden-preservingly en los ordinales de $N$. En particular, cada modelo no estándar de la teoría de conjuntos es universal para todos los modelos contables de la teoría de conjuntos. Desde $\phi$ es independiente, no es un no estándares contables modelo de $\mathfrak{B}\models\ZFC+\neg\phi$, y dado que es no estándar, podemos encontrar una isomorfo copia de $\mathfrak{A}$ como submodel de $\mathfrak{B}$, como se desee. QED