En un grupo$G$,$a^2b^2=b^2a^2$ y$a^3b^3=b^3a^3$ se mantiene,$\forall a,b\in G$. Probar que el grupo$G$ es abelian.
Mi enfoque fue el siguiente :
Dejar $a,b\in G$
Luego, se mantiene$a^2b^2=b^2a^2$ y$a^3b^3=b^3a^3$.
Ahora, $$ \begin{align} a^3b^3=b^3a^3 \\ \implies aaabbb=&bbbaaa\\ \implies a\cdot a^2\cdot b^2&\cdot b=b\cdot b^2\cdot a^2\cdot a\\ \implies a\cdot b^2\cdot a^2&\cdot b =b\cdot a^2\cdot b^2\cdot a\\ \implies ab \cdot ba \cdot a&b=ba\cdot ab\cdot ba \end {align} $$
No puedo seguir adelante.
Lo que necesito es una prueba simple que use teoremas simples en grupos, mejor si se pudiera hacer usando propiedades elementales.
