Me encontré con el término 'relación de equivalencia más pequeña' en el curso de una prueba en la que estaba trabajando. Nunca había pensado en relaciones de orden. Busqué en Google el término y revisé stackexchange y no pude encontrar una definición clara.
¿Alguien puede proporcionarme una definición de qué es una relación de equivalencia más pequeña y un ejemplo de una relación de equivalencia siendo más pequeña que otra?
Voy a suponer que el contexto real fue más como la relación de equivalencia más pequeña en $A$ que satisface tales y tales condiciones. Si ese es el caso, lo que se pretende es la intersección de todas las relaciones de equivalencia en $A$ que cumplen las condiciones dadas: la intersección de las relaciones de equivalencia en $A$ es una relación de equivalencia en $A$, y esta intersección es el subconjunto más pequeño de $A\times A$ (más pequeño en el sentido de $\subseteq$) que es una relación de equivalencia en $A$ y que cumple las condiciones dadas.
Una relación de equivalencia es un conjunto de pares ordenados, y un conjunto puede ser un subconjunto de otro.
Para cualquier conjunto $S$ la relación de equivalencia más pequeña es aquella que contiene todos los pares $(s,s)$ para $s \in S$. Tiene que tener esos para ser reflexiva, y cualquier otra relación de equivalencia debe tener esos. La relación de equivalencia más grande es el conjunto de todos los pares $(s,t).
Para algunos ejemplos intermedios, consideremos el conjunto de enteros. La relación de equivalencia "tiene la misma paridad que" se encuentra entre las relaciones más pequeñas y las más grandes.
Reflexiona sobre cómo las relaciones "es congruente a módulo $n$" están relacionadas por inclusión.
Como comenta @JiK, las relaciones de equivalencia obtienen su orden "menor que" de la forma natural en que los conjuntos tienen ese orden. Ese orden es "parcial" ya que existen pares de relaciones de equivalencia tales que ninguna es un subconjunto de la otra.
Si conoces el teorema que dice que las relaciones de equivalencia corresponden naturalmente a particiones, puedes traducir la estructura de orden. La partición $P$ es más fina que la partición $Q$ si cada bloque de $P$ está completamente contenido en algún bloque de $Q. Las particiones más finas corresponden a relaciones de equivalencia más pequeñas. En la partición más fina, cada elemento de $S$ está en un bloque por sí mismo - la relación de equivalencia más pequeña. En la partición más gruesa, todo $S$ es un solo bloque - la relación de equivalencia más grande.
Para ser más explícito, añadiría lo siguiente: Ser un subconjunto define una orden parcial de relaciones de equivalencia. En general, un conjunto finito parcialmente ordenado no necesariamente tiene un elemento más pequeño o más grande. Pero en este caso, sucede que el más pequeño y el más grande sí existen, es decir, hay una relación de equivalencia que es un subconjunto de cualquier otra relación de equivalencia, y hay una relación de equivalencia de la cual cualquier otra relación de equivalencia es un subconjunto.
Las relaciones de equivalencia están (parcialmente) ordenadas por implicación; $\Theta \leq \Phi$ si y sólo si $$ x \Theta y \implies x \Phi y $$ es una identidad.
De hecho, este orden parcial es una retícula completa; la operación de encuentro (también conocida como el límite inferior más grande) está dada por el "and" lógico. Es decir, la relación de equivalencia $\Theta = \bigwedge_{i \in I} \Theta_i$ es aquella definida por
$$x \Theta y \Longleftrightarrow \bigwedge_{i \in I} x \Theta_i y$$
o en términos de cuantificadores en lugar de operaciones infinitarias, $$x \Theta y \Longleftrightarrow \forall i \in I: x \Theta_i y $$
Si se observa el gráfico de las relaciones, todo esto se puede reformular en términos de subconjuntos e intersecciones.
Una fuente simple de ejemplos es utilizar el primer teorema de isomorfismo — hay una correspondencia biyectiva entre congruencias y cocientes.
Por ejemplo, en términos de conjuntos, los cocientes se pueden ver como particiones del conjunto, y la correspondencia es que las clases de equivalencia de una relación de equivalencia son las partes de la partición.
La relación de equivalencia más pequeña en un conjunto no vacío $X$ corresponde a la partición cuyas clases son todas singleton; es igualdad. La relación de equivalencia más grande es aquella con una sola partición; la relación de equivalencia correspondiente es aquella donde todo está relacionado. El orden en las relaciones de equivalencia corresponde a si una partición refina a otra.
No sé para qué lo quieres, pero es posible definir la relación de equivalencia más pequeña en un conjunto $S$ que contiene una relación dada $R$. Aquí está la fórmula:
$$R^e = \bigcup_{n=1}^\infty [R\cup R^{-1} \cup 1_S]^n$$
Sabemos que cuando $n=1$, tendremos $1_S$, que satisface la reflexividad.
La simetría se sigue por inducción; el caso base es claro porque añadimos $R^{-1}$ para obtener la simetría inicial. Ahora, sea $(x,y) \in S^n$. Si $(x,y) \in S^{n-1}$ hemos terminado. De lo contrario, $(x,y) = (x,a)(a,y)$ con cada uno de esos en algún $S^k, S^{k'}$ para $k,k' < n$ y $k+k' = n$. En particular, eso significa que $(a,x),(y,a)$ están en cada uno de esos por la hipótesis inductiva, y así $(y,a)(a,x) = (y,x) \in S^k S^{k'} = S^n$.
Finalmente, sabemos que es transitiva porque si tenemos $(x,y) \in R^e$ y $(y,z) \in R^e$ entonces cada uno está en algún $S^m,S^n$, y por lo tanto su composición estará en $S^{m+n}$.
Finalmente, note que si $E$ es una relación de equivalencia que contiene $R$, sabemos que contiene $R\cup R^{-1} \cup 1_S$. Además, $EE \subseteq E$ porque es una relación de equivalencia, y por lo tanto $E^n \subseteq E$, pero eso significa que cualquier subconjunto compuesto $n$ veces consigo mismo está en $E$, y eso significa que $R^e \subseteq E$. Esto significa que hemos encontrado la relación de equivalencia más pequeña (por contención) que contiene $R$.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
