Probar eso:

Question

Demuestre que:$n \mid \varphi (a^{n}-1)$$a,n$ enteros positivos con$a>1$

Sé que$a$ tiene un orden multiplicativo$n$ en el anillo de enteros modulo$a^{n}−1$ y el orden del grupo de unidades modulo$a^{n}−1$ es$\varphi (a^{n}-1)$.

¿Cómo puedo demostrar que$a^{\varphi (a^{n}-1)}= 1$ mod$(a^{n}-1)$?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Dejar $m=a^n-1$. Entonces el orden de$a$ en$\left(\mathbb{Z}_{/(m\mathbb{Z})}\right)^*$ es exactamente$n$, desde$a^n\equiv 1\pmod{m}$ pero por cada$1<k<n$ tenemos$1<a^k<m$. Por el teorema de Lagrange para grupos, el orden de$a$ es un divisor del orden de$\left(\mathbb{Z}_{/(m\mathbb{Z})}\right)^*$, por lo tanto:$$ n\mid \varphi(a^n-1) sigue.