Encontrar todos los $x,y,z\in\mathbb N$, $x,y,z>1$ tales que satisfacen $x\mid yz+1$, $y\mid xz+1$, y $z\mid xy+1$

Question

Encontrar todos los $x,y,z\in\mathbb N$, $x,y,z>1$ tales que satisfacen $$\begin{cases}x\mid yz+1\\y\mid xz+1\\z\mid xy+1\end{cases}$$

He encontrado fácilmente que $$\begin{cases}x\nmid yz\\y\nmid xz\\z\nmid xy\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x\nmid y\\x\nmid z\\y\nmid x\\y\nmid z\\z\nmid x\\z\nmid y\end{cases}$$ No puedo encontrar una manera de continuar a partir de aquí, así que me gustaría obtener algunas ideas. Gracias.

Answer 1

Las únicas soluciones son permutaciones de $(2,3,7)$:

Asumir $x \mid yz+1$, $y \mid xz+1$, $z \mid xy+1$. Tenemos $(x,y)= (y,z) = (z,x) = 1$. Deje $x< y< z$. Entonces como $x$,$y$ y $z$ brecha $xy+xz+yz+1$ tenemos $$xyz \mid xy+xz+yz+1 < 3yz.$$ Por $1<x$ llegamos a la conclusión de $x= 2$. Pero, a continuación, $y \mid (2z+1)$ $z \mid (2y+1)$ lleva a $$yz \mid 2(y+z)+1 <4z$$ from which we conclude $y=3$ using $x<y$. Finally $z \mediados de xy+1 = 7$ and indeed $(2,3,7)$ es una solución.