Teoría de la representación de$GL(2,\mathbb{C})$

Question

Quiero clasificar todos unitario de representaciones de $GL(2,\mathbb{C})$ a partir de la teoría de la representación de $SL(2, \mathbb{C})$. Es esto posible? Knapp afirma que uno obtiene toda la representación irreducible por pegar a un personaje en $\mathbb{C}^\times$, que coincide en $-1$ a $SL(2, \mathbb{C})$ y que uno de los tubos de escape de esta manera todos los irreductible de la representación, pero me preocupo por el bien definedness de la raíz cuadrada $g \mapsto \sqrt{\det g}$. ¿Cómo funciona esto?

Alternativamente, una referencia que lista todas las representaciones irreducibles también es suficiente para mi propósito.

Answer 1

El grupo $GL_2(\mathbb C)$ es el producto de su centro $\mathbb C^{\times}$ y su subgrupo $SL_2(\mathbb C)$. Este producto no es directa; los dos subgrupos se cruzan en $\{\pm 1\}$ (el centro de las $SL_2(\mathbb C)$).

Supongamos $\pi$ es un irred. unitario de la rep. de $SL_2(\mathbb C)$, y deje $\varepsilon$ ser el personaje a través del cual $\{\pm 1\}$ actúa en $\pi$. Seleccione una extensión de $\epsilon$ a un carácter unitario de $\mathbb C^{\times}$. Entonces no hay una única extensión de $\pi$ a un unitaria rep. de $GL_2(\mathbb C)$, en que $\mathbb C^{\times}$ a través de actos el carácter $\chi$.

Por el contrario, cualquier irred. unitario de la rep. de $GL_2(\mathbb C)$ surge de uno de los $SL_2(\mathbb C)$ por este tipo de construcción.

[En el caso de $GL_2(\mathbb R)$ es un poco más sutil, y esto es lo que estaba pensando cuando escribí mi comentario anterior. La razón es que en este caso $GL_2(\mathbb R)$ es no el producto de su centro de y $SL_2(\mathbb R)$, debido a la cuadratura de mapa de $\mathbb R^{\times} \to \mathbb R^{\times}$ --- que es lo que surge de restringir el determinante mapa del centro de la $GL_2$ --- no es surjective, a diferencia de en el caso de $GL_2(\mathbb C)$.]