¿Intuición detrás de la diferencia entre conjuntos derivados y conjuntos cerrados?

Question

Me perdí la charla de mi clase de Análisis donde mi profesor habló sobre derivados de conjuntos. Por otra parte, nada acerca de los derivados de los conjuntos está en mi libro de texto. Al mirar en muchos topología de los libros de texto, algunas incluso cuentan con el término "derivados de conjunto" en su índice y muchos libros sólo decir "$A'$ es el conjunto de límite de puntos de $A$". Pero estoy realmente confundido sobre la diferencia entre el $A'$ e $\bar{A}$. Por ejemplo,

Deje $A=\{(x,y)∈ \mathbb{R}^{2} ∣x^2+y^2<1\}$, ciertamente,$(1,0) \in A'$, pero no $(0,0)∈A'$ también? De esta manera parecería que $A \subseteq A'$.

La definición de un límite de punto es un punto de $x$ de manera tal que en cada barrio de $x$ contiene un punto de $A$ otros de $x$ sí. Entonces ¿no $(0,0)$ se ajustan a este criterio? Si estoy equivocado, ¿por qué? Y si no lo estoy, por favor alguien puede darme más intuitiva ejemplos que ilustran claramente, la sutil diferencia entre el $A'$, e $\bar{A}$?

Answer 1

La clave de la diferencia es la noción de un punto aislado. Si $X$ es un espacio, $A\subseteq X$, y $x\in A$, $x$ es un punto aislado de $A$ si existe un conjunto abierto $U$ tal que $U\cap A=\{x\}$. Si $X$ es un espacio métrico con la métrica $d$, esto es equivalente a decir que hay un $\epsilon>0$ tal que $B(x,\epsilon)\cap A=\{x\}$ donde $B(x,\epsilon)$ es la bola abierta de radio $\epsilon$ centrada en $x$. No es difícil ver que $x$ es un punto aislado de $A$ si y sólo si $x\in A$ e $x$ es no un punto límite de $A$. Esto significa que, en principio, $\operatorname{cl}A$ contiene tres clases de puntos:

1. puntos aislados de $A$;
2. puntos de $A$ que son el límite de puntos de $A$; y
3. puntos de $X\setminus A$ que son el límite de puntos de $A$.

Si $A_I$ es el conjunto de puntos aislados de $A$, $A_L$ es el conjunto de límite de puntos de $A$ que están en $A$, e $L$ es el conjunto de límite de puntos de $A$ que no están en $A$, luego

• $A=A_I\cup A_L$;
• $A'=A_L\cup L$; y
• $\operatorname{cl}A=A_I\cup A_L\cup L$.

En particular, si $A$ no tiene puntos aislados, por lo que el$A_I=\varnothing$,, a continuación,$A'=\operatorname{cl}A$. Si, por otro lado, $A$ consta en su totalidad de puntos aislados, como los conjuntos de $\Bbb Z$ e $\left\{\frac1n:n\in\Bbb Z^+\right\}$ en $\Bbb R$, luego $A_L=\varnothing$, $A'=L$, y $\operatorname{cl}A=A\cup L$.

Answer 2

En el ejemplo que das, la derivada de conjunto es de hecho el mismo que el de cierre. Sin embargo, eso no tiene que ser siempre el caso.

Vamos a empezar con un ejemplo tonto. Consideremos el conjunto $A=\{17\}$. Este es un conjunto cerrado, por lo $\overline{A}=A$. Pero $A$ no tiene límite de puntos, por lo $A'=\emptyset$.

Aquí es un poco más complicado. Deje $A$ ser el conjunto de todos los números de la forma $\frac{1}{n}$ donde $n$ rangos de los enteros positivos. A continuación el cierre de $A$ es sólo $A$ junto con el número de $0$. Pero la deriva conjunto de $A$ es sólo $\{0\}$.