Así que quiero una función que es cero en los reales sólo en el primer enteros y que no depende de saber los números primos. Yo a construir:
$$f(x) = e^{-x^2} - \sum\limits_{n=2}^\infty e^{-n^2} \frac{ \sin(\pi x)^2 }{ n^2\sin(\pi x/n)^2}$$
Que tiene ceros en la línea real sólo en los aspectos positivos y negativos primer enteros.
( $c_n(x)=\frac{\sin(\pi x)^2}{n^2\sin(\pi x/n)^2}$ tiene un lugar bien definido en series de Taylor y puede ser definido en todas partes. Es $1$ cuando $x$ es un múltiplo de $n$ y 0 en caso contrario. El exponenciales son sólo de hacer que todo converge.)
Así que mi pregunta es, es una función como esta útil? Como en, ¿nos dicen nada acerca de los números primos?
Edit: si es analítico, así como ceros en el eje real que va a tener muchos ceros complejos.
Yo también tenga en cuenta que es muy "fácil" para convertir esto en una serie de la forma: $f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty a_{k} x^{k}$ donde los coeficientes $a_{2k} =\frac{(-1)^k}{k!} - \sum\limits_{n=2}^\infty c^{(2k)}_n(0)e^{-n^2}$. Comienza $f(x)=0.981-0.97722x^2+...$ a pesar de que usted necesita una gran cantidad de términos cuando se $x$ es grande!!! Pero podríamos decir $f^{-1}(0)\subset$números primos.
Edit 2: creo que la función en realidad también tiene ceros en puntos muy cerca de los números primos y sólo los ceros donde $f'(x)<0$ son números primos. (Básicamente, cada segundo cero.) Esto funciona igual de bien en sustitución de la exponenciales con $1/x^2$.
