¿Cómo probar que los vectores propios de una matriz exponencial son los mismos que los de la matriz?

Question

Es relativamente fácil demostrar que cualquier vector propio de un % arbitrario $n \times n$ matriz $A$ es también un vector propio de su matriz exponencial, $B = e^A$ . Pero, ¿cómo se puede demostrar que lo contrario es cierto: que cualquier vector propio de $B = e^A$ también es un vector propio de $A$ ?

Answer 1

Un contraejemplo es $$ A = \ left [\begin{array}{cc}0&-2\pi\\2\pi&0\end {array} \ right], \ hspace {8mm} e ^ A = \ left [\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end {array} \ right]. $$ Entonces, por ejemplo, $[1,0]^T$ es un vector propio de $e^A$ pero no de $A$ .